Limiti. Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass

15 lug 2015

I teoremi sulle funzioni continue danno molte informazioni sul comportamento delle funzioni continue: scopri come usare il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass.

Teorema degli zeri

Il teorema degli zeri assicura che il grafico di una funzione continua che assume valori positivi e negativi in un intervallo \( [a, b]\) interseca l’asse \( x\) almeno una volta.

Teorema degli zeri

“Per ogni funzione \(f \) che ha queste proprietà:

• \(f \) è continua nell’intervallo \([a, b] \) chiuso e limitato cioè \(a,b \in \mathbb{R} \);
• \(f (a) \cdot f (b) < 0 \) cioè la funzione agli estremi dell’intervallo ha segno opposto.

esiste almeno un punto \( c \in [a,b]\) in cui \( f (c)= 0 \)“.

Guarda gli esercizi svolti e spiegati alla lezione Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass

Teorema di Weierstrass

Per il teorema di Weistrass bisogna introdurre il concetto di massimo e minimo. Se non te li ricordi, vai alla lezione Massimi, minimi e flessi.

“Ogni funzione \( f \) continua nell’intervallo \( [a,b]\) chiuso e limitato ammette massimo e minimo assoluti nell’intervallo \( [a,b]\)”

Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è una funzione limitata, cioè è compresa tra due valori \( m \) e \( M \) che sono il minimo e il massimo assoluti della funzione:
\( m \le f(x) \le M \, \, \forall x \in [a,b] \)

E se la funzione \( f\) non soddisfa una delle ipotesi di Weiestrass? Guarda la spiegazione completa alla lezione Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass