Limiti. Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass

15 lug 2015

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I teoremi sulle funzioni continue danno molte informazioni sul comportamento delle funzioni continue: scopri come usare il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass.

 

La sfida

Hai di nuovo problemi col router!
Decidi di prenderne un altro che ha il segnale che segue questa funzione:
\( s (x) = \bigg| e^{-x^2} – \frac{1}{3}\bigg|\)
Metti il router al centro della casa nel punto \(x_0 = 0\).
Ti interessa che il segnale arivi a distanza di \(2 \, m\) dal router, da destra e da sinistra. Per tua fortuna la funzione \(S (x)\) è pari cioè simmetrica rispetto all’asse \(y \): quindi ti basta studiarla solo nell’intervallo \([0, 2]\)
Il segnale ci sarà sempre \((S> 0)\) oppure ci saranno dei punti in cui non arriva il segnale, cioè \(S= 0\) ?

 

Teorema degli zeri

Il teorema degli zeri assicura che il grafico di una funzione continua che assume valori positivi e negativi in un intervallo \( [a, b]\) interseca l’asse \( x\) almeno una volta.

Teorema degli zeri

“Per ogni funzione \(f \) che ha queste proprietà:

  • \(f \) è continua nell’intervallo \([a, b] \) chiuso e limitato cioè \(a,b \in \mathbb{R} \);
  • \(f (a) \cdot f (b) < 0 \) cioè la funzione agli estremi dell’intervallo ha segno opposto.

esiste almeno un punto \( c \in [a,b]\) in cui \( f (c)= 0 \)“.

Guarda gli esercizi svolti e spiegati alla lezione Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass

Teorema di Weierstrass

Per il teorema di Weistrass bisogna introdurre il concetto di massimo e minimo. Se non te li ricordi, vai alla lezione Massimi, minimi e flessi.

“Ogni funzione \( f \) continua nell’intervallo \( [a,b]\) chiuso e limitato ammette massimo e minimo assoluti nell’intervallo \( [a,b]\)”

Ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è una funzione limitata, cioè è compresa tra due valori \( m \) e \( M \) che sono il minimo e il massimo assoluti della funzione:
\( m \le f(x) \le M \, \, \forall x \in [a,b] \)

E se la funzione \( f\) non soddisfa una delle ipotesi di Weiestrass? Guarda la spiegazione completa alla lezione Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!