La matematica di Redooc: scomposizione di polinomi

5 gen 2015

Tra i grandi misteri della matematica per gli studenti di tutti i tempi, uno dei più intriganti è la scomposizione di polinomi!

Vuoi sapere come si fa la scomposizione di polinomi? Ma a cosa serve?!?

Niente panico! Continuiamo il nostro viaggio nel calcolo letterale e in particolare nel mondo di monomi e polinomi. E’ il momento di vedere come si scompone un polinomio.

Curiosi di capire il perché dell’immagine? Guardate il video! 

In questa video lezione imparerai:

• Scomposizione in fattori e polinomi riducibili: definizione di polinomio riducibile e sua scomposizione in fattori
• Raccoglimento a fattore comune: vediamo i due metodi di scomposizione di un polinomio riducibile
• Polinomi riconducibili a prodotti notevoli: come riconoscere i prodotti notevoli in un polinomio
• Trinomi particolari: sono trinomi particolari quelli che hanno una precisa relazione tra i suoi coefficienti
• Zeri di un polinomio e scomposizione con Ruffini: definizione di zero di un polinomio e relazione con la scomposizione col metodo di Ruffini

Scomposizione in fattori e polinomi riducibili

Un polinomio è riducibile quando possiamo riscriverlo come prodotto di altri polinomi di grado minore. In caso contrario è irriducibile. Come la maggior parte dei numeri (ad eccezione dei numeri primi) può essere scritta come prodotto di altri numeri più piccoli, anche la maggior parte dei polinomi può essere scritta come prodotto di polinomi di grado inferiore.
La scomposizione di un polinomio in fattori irriducibili è unica (così come è unica la scomposizione di un numero naturale in fattori primi).

Raccoglimento a fattore comune

Esistono due metodi per scomporre un polinomio:

• Raccoglimento a fattore comune totale: se in tutti i termini del polinomio è presente uno stesso fattore (lettera o numero) possiamo “estrarre” il fattore da tutti i termini, dividendoli poi tutti per il fattore. Il polinomio è riscritto come prodotto del polinomio ottenuto per il fattore messo in evidenza.
• Raccoglimento a fattore comune parziale: la stessa operazione può essere fatta anche quando il fattore è comune solamente ad alcuni termini del polinomio.

Polinomi riconducibili a prodotti notevoli

Se il polinomio è un prodotto notevole, possiamo scomporlo “tornando indietro”, riscrivendolo cioè come prodotto dei suoi fattori iniziali.

Trinomi particolari

C’è poi un altro metodo di scomposizione molto usato che riguarda i trinomi particolari che si possono scomporre come prodotto di altri polinomi.

Zeri di un polinomio e scomposizione con Ruffini

Grazie al teorema di Ruffini sappiamo che se troviamo un valore a che sostituito alla x del polinomio lo azzera (a è detto zero del polinomio) allora quel polinomio è divisibile esattamente per (x−a).
Quindi se troviamo uno zero di un polinomio troviamo anche il modo di scomporlo in due fattori P(x)=(x−a)Q(x) con Q(x) il quoziente della divisione: sappiamo infatti che non c’è resto.
Come facciamo però a trovare tutti gli zeri del polinomio?
Ci viene in aiuto una regola: se un numero intero annulla un polinomio a coefficienti interi, esso è un divisore del termine noto. Quindi possiamo cercare gli zeri del polinomio tra i divisori del termine noto.
Attenzione! Non tutti i divisori del termine noto sono zeri del polinomio.

Cosa aspettate ad allenarvi con Redooc?