Permutazioni semplici e con ripetizione

8 giu 2015

Permutazioni semplici e con ripetizione ti mandano in crisi? In questo post ti spieghiamo che cos’è una permutazione: la definizione e applicazioni. L’argomento ti sarà molto utile per la seconda prova di matematica dell’esame di maturità, in particolare per i quesiti. Che cosa sono le permutazioni semplici e che cosa sono le permutazioni con ripetizione.

Definizione di permutazione

Una permutazione è uno scambio dell’ordine di una sequenza di elementi che possono essere di qualunque tipo. L’obiettivo è trovare il numero di tutte le permutazioni (cioè tutte le sequenze con ordine) possibili dato un certo numero \(n\) di elementi.

Permutazioni semplici

Le permutazioni semplici sono quelle in cui gli elementi sono tutti diversi fra loro. Per trovare il numero di permutazioni semplici di \(n\) elementi usa la formula: \(P_n=n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot … \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

Il simbolo \(n!\) si chiama \(n\) fattoriale, ed è il prodotto dei primi \(n\) numeri naturali.

Permutazioni semplici: esercizio svolto

Quanti possibili anagrammi (anche senza senso) esistono di “MARE”?
Per contare gli anagrammi ti serve sapere:

• Il numero totale di lettere, cioè la lunghezza della parola;
• Se ci sono lettere ripetute.

Il numero di lettere in “MARE” è 4 e non ci sono lettere ripetute. Quindi devi trovare il numero di permutazioni di 4 elementi:

\(P_4=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \)
Quindi ci sono 24 anagrammi della parola “MARE”

Permutazioni con ripetizione

Le permutazioni con ripetizione sono quelle in cui uno o più elementi sono ripetuti.

Permutazioni con ripetizione: esercizio svolto

Quanti anagrammi ha la parola “DADO”?

In questo esercizio la lettera “D” è l’elemento che si ripete, e l’insieme degli anagrammi è l’insieme delle permutazioni degli elementi “lettere della parola”.

Per trovare il numero di permutazioni con ripetizione devi calcolare il numero di permutazioni degli \(n\) elementi \(P_n\) e dividerlo per il prodotto del numero di permutazioni degli elementi che si ripetono.
Qui hai un insieme di 4 elementi \(P_4\) di cui un elemento che si ripete 2 volte (\(P_2\)), allora il numero di permutazioni è: \(\frac{P_4}{P_2}=12\)

Permutazioni con ripetizione: esercizio svolto

E se hai la parola “TETTO”?
Ecco la soluzione: \(\frac{P_5}{P_3}= 20\)