Punti di discontinuità di prima, seconda e terza specie

La terza parte degli appunti sui limiti. In questo articolo ti spieghiamo cosa sono i punti di discontinuità di prima seconda e terza specie; poi spieghiamo come trovare l’equazione di un asintoto.

La sfida

Si sparge la voce che sei un mago di router e connessioni!
Anche una tua amica ti chiede aiuto.
Lei abita al secondo piano e i suoi genitori al primo.
Si chiede come sia possibile che il segnale del router di casa dei suoi, che è regolato dalla funzione \( f (x) = – \frac{1}{x} + 1 \,\ x> 0 \) non riesca a raggiungere casa sua!
Le sapresti spiegare il motivo?

Esistono vari tipi di asintoto: asintoto orizzontale, asintoto verticale e asintoto obliquo ma prima di parlarne è giusto spiegare il concetto di punti di discontinuità.
È un argomento molto importante, soprattutto in vista della maturità. A dirla tutta c’era anche nel primo problema della simulazione di seconda prova del 25 Febbraio 2015. Al punto 5 infatti ti chiedeva di “studiare la legge oraria del primo meteorite nell’intervallo tra \( 0 \) e \(3 t_urto \) secondi, evidenziando la presenza di eventuali punti di discontinuità e/o di non derivabilità e tracciandone il grafico.”

Adesso comincia a guardare cosa si intende per funzione continua in un intervallo, discontinuità in un punto e discontinuità di prima, seconda e terza specie.

Punti di discontinuità

Una funzione è continua in un intervallo \([a,b]\) se per ogni punto \(x_0\) dell’intervallo è sempre verificato che \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)\).

Se una funzione non è continua in un punto \(x_0\),\(x_0\) è punto di discontinuità. Esistono però 3 tipi di discontinuità:

discontinuità di prima specie – “a salto”:
esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione, ma hanno due valori diversi. \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=l_1 \ne \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)=l_2\)
discontinuità di seconda specie:
almeno uno fra il limite destro \(\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)\) e sinistro \(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)\) della funzione è infinito o non esiste
discontinuità di terza specie – “eliminabile”:
esiste finito il limite \( l \) della funzione nel punto \(x_0\): \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l\) ma la funzione o non è definita in quel punto, oppure è definita ma non è continua, ossia \(f(x_0) \ne l\)

Guarda tutti i grafici per capire e distinguere subito i tre tipi di discontinuità.

Asintoti orizzontali e verticali

Ora che hai assimilato i concetti di discontinuità si può parlare di asintoti.
L’asintoto di una curva è una retta che si avvicina sempre di più alla funzione senza però toccarla mai: la distanza tra la retta e la curva tende a zero.

Ma come si fa a trovare un asintoto?

Bisogna cercare gli asintoti nei punti in cui la funzione non è definita, oppure all’infinito. Per trovare gli asintoti della funzione \(f(x)\) dovrai calcolare dei limiti.

è un asintoto verticale se \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)= \infty\). La retta \(x=x_0\) è un asintoto verticale per la funzione \(f(x)\)
è un asintoto orizzontale se \(\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=l\), con l finito. La retta \(y=l\) è un asintoto orizzontale per la funzione \(f(x)\)

Hai già visto gli esempi svolti e spiegati sugli asintoti orizzontali e verticali?

Asintoti obliqui

Se il limite all’infinito è ancora un valore infinito hai invece un probabile asintoto obliquo: \(\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\pm \infty\)

Quando esiste davvero l’asintoto obliquo e come posso trovare la sua equazione?

Se esiste finito e non nullo il limite \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}\), allora questo è proprio il coefficiente angolare m dell’asintoto obliquo: \(m=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}\)
Se esiste l’\( m \), puoi calcolare anche l’intercetta dell’asintoto obliquo q: \(q=\lim\limits_{x \to \infty} \left[ f(x)-mx \right]\)