Posizione reciproca di retta e iperbole, rette tangenti a un’iperbole e formula di sdoppiamento

16 lug 2015

I nuovi appunti di matematica. L’iperbole: posizione reciproca di retta e iperbole, rette tangenti a un’iperbole e formula di sdoppiamento.
Comincia a studiare, guarda gli esercizi risolti!

Posizione reciproca di una retta e un’iperbole

Consideriamo nel piano una retta e un’iperbole.
Usando le loro equazioni possiamo stabilire se queste sono secanti, tangenti o esterne.
Mettiamo a sistema le equazioni delle due curve e troviamo l’equazione risolvente di secondo grado:

Equazione risolvente di secondo grado con:

• \( \Delta> 0 \): il sistema ha due soluzioni reali: retta e iperbole sono secanti, ossia si intersecano in due punti distinti
• \( \Delta= 0 \):il sistema ha due soluzioni reali e coincidenti: retta e iperbole sono tangenti in un punto (doppio)
• \( \Delta< 0 \):il sistema non ha due soluzioni reali: retta e iperbole non si intersecano, e quindi sono esterne

Equazione risolvente di primo grado: la retta è parallela ad un asintoto dell’iperbole e le due curve hanno un solo punto  di intersezione.

Guarda tutti gli esercizi spiegati e risolti alla lezione Retta e iperbole.

Rette tangenti a un’iperbole

Concentriamoci ora sulle rette tangenti.
Abbiamo nel piano un’iperbole e un punto \( P (x_0; y_0) \) e vogliamo trovare, se esistono, le rette tangenti all’iperbole che passano per \(P\).
Ricordiamo il procedimento da seguire:

1. Scriviamo l’equazione del fascio di rette passanti per \(P: y – y_0 = m (x -x_0)\)
2. Mettiamo a sistema il fascio con l’equazione dell’iperbole
3. Troviamo l’equazione risolvente (in funzione di \(m\)!)
4. Imponiamo la condizione condizione di tangenza: \( \Delta =0 [latex]
5. Risolviamo l’equazione di secondo grado con incognita [latex]m\), possiamo trovare:
   • Due soluzioni reali distinte: ci sono due rette tangenti passanti per \(P\), che in questo caso è esterno all’iperbole;
   • Due soluzioni reali coincidenti: c’è una sola retta tangente per \( P\), appartiene all’iperbole;
   • Nessuna soluzione: non ci sono tangenti per \(P\), che è esterno all’iperbole.

Guarda tutti gli esercizi spiegati e risolti alla lezione Retta e iperbole.

Formula di sdoppiamento

Consideriamo ora un’iperbole e un solo punto. Possiamo usare quella che si chiama formula di sdoppiamento per trovare la tangente dell’iperbole per questo punto senza seguire tutto il procedimento.

Dati l’iperbole \( \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 \) e un punto \(P (x_0; y_0) \), l’equazione della tangente all’iperbole passante per \(P\) è data dalla formula: \( t: \frac{x x_0}{a^2} – \frac {y y_0}{b^2} = \pm 1 \)