Scomposizione di polinomi: esercizi svolti

8 May 2016

scomposizione di polinomi

Quante volte hai sbagliato a scomporre un polinomio? Magari hai usato la regola di Ruffini oppure una delle scomposizioni date dai prodotti notevoli. Alla fine il risultato è sempre lo stesso: l’esercizio sulla scomposizione di polinomi è sbagliato perché ti sei dimenticato un “meno” da qualche parte. Come imparare a fare bene la scomposizione in fattori?
Il primo passo è sicuramente quello di capire cosa significa scomporre un polinomio: l’obiettivo è scrivere il polinomio (somma di monomi) come prodotto di monomi e/o polinomi “più piccoli” (cioè di grado inferiore). In pratica, vinci se tutti i \( + \) e i \( – \) sono dentro le parentesi.

Dirai: “ah, ho capito: se scrivo il polinomio \( x^2 – 9x \) come \( (x^2 – 9x) \) ho finito perché ho messo le parentesi!”
Se stai pensando di fare così all’interrogazione o in verifica, ti consiglio di tapparti le orecchie per non sentire cosa ti dirà il tuo prof…
Per evitare di fare queste figuracce, abbiamo creato delle videolezioni di esercizi svolti sulla scomposizione di polinomi.
Ma ci sono altri argomenti importanti con esercizi svolti (e soprattutto spiegati): frazioni algebriche e operazioni, condizioni di esistenza…

Scomposizione di polinomi

A cosa serve scomporre i polinomi? Beh è importante per risolvere le espressioni con le frazioni algebriche, ma anche per fare tutta la matematica da qui in avanti in modo rapido e semplice. Infatti il passaggio successivo alla scomposizione di un polinomio è la semplificazione di una frazione algebrica.
Ma andiamo per gradi: quando hai studiato i prodotti notevoli hai visto che, per esempio, la formula del quadrato di un binomio è \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \). Ma negli esercizi di scomposizione di polinomi ti troverai nella situazione opposta: questa volta avrai di fronte il polinomio \( a^2+2ab+b^2 \) e dovrai scriverlo come \((a+b)^2 \). La stessa cosa vale per tutti gli altri prodotti notevoli (qui trovi le formule).
Non sempre però avrai dei polinomi da scomporre come prodotti notevoli. Quindi come fare? Semplice! Tanti esercizi per non farti trovare impreparato!

Frazioni algebriche

Tutti sanno cos’è una frazione. Ma cosa sono le frazioni algebriche? Perché ogni volta che abbiamo capito qualcosa c’è sempre l’algebra che ci scombussola tutto? Tranquilli. Non c’è nulla di complicato.
Una frazione è algebrica se al numeratore e/o al denominatore compare un polinomio (o anche un monomio).
Le operazioni con le frazioni algebriche sono le solite: addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, elevamento a potenza. Ma per fare queste operazioni è necessario saper scomporre i polinomi alla perfezione. Infatti dopo aver scomposto numeratore e denominatore, è possibile:

  1. imporre le condizioni di esistenza, cioè denominatore diverso da zero
  2. trovare il m.c.m. (nel caso di somma o differenza di frazioni algebriche)
  3. semplificare la frazione algebrica

Scomposizione di polinomi: esercizio svolto

Calcoliamo la somma \( \frac{x^2}{x+1}+\frac{x}{x-1}\)

  1. C.E. \( D_{1}=x+1\ne 0 \to x \ne -1 \) e \( D_{2}=x-1\ne 0 \to x \ne 1\)
  2. i denominatori sono già scomposti, quindi calcoliamo il m.c.m. dei denominatori: \( \text{m.c.m.}(x+1,x-1)=(x+1)(x-1)\)
  3. facciamo la somma: \( \frac{x^2(x-1)+x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^3+1}{(x+1)(x-1)}\)

Finito? Certo che no! Il numeratore è una somma di cubi. Ricordi come si scompone?
\( x^3+1=(x+1)(x^2+x+1)\)
Bene allora possiamo riscrivere la nostra frazione algebrica: \( \frac{x^3+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)}\)
A questo punto, avviene la magia! Sia al numeratore che al denominatore c’è il fattore \((x+1)\) che possiamo semplificare. La frazione diventa \( \frac{(x+1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2+x+1}{x-1}\)
Ovviamente tutto questo lavoro di semplificazione è stato possibile perché abbiamo imposto le condizioni di esistenza della frazione algebrica. Se non l’avessimo fatto, avremmo semplificato qualcosa che poteva anche essere zero. E questo non possiamo farlo.

Se vuoi vedere altri video di esercizi svolti e spiegati sulla scomposizione di polinomi, vai al capitolo sulla scomposizione in fattori

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