Teoremi e calcolo dell’integrale definito

La sfida

Immaginiamo di poter approssimare il profilo delle onde del mare con una funzione sinusoidale tipo \(f(x) = k \, sen \omega \,x \), dove \(x \) rappresenta la distanza dalla spiaggia, \(k \) l’ampiezza dell’onda e \(\omega \) è la frequenza con cui le onde si ripetono. Sapresti calcolare l’altezza media delle onde a partire dalle spiaggia (indicata con \( x= 0 \) fino a 100 metri al largo, sapendo che \(k =3 \) e \(\omega =2 \)

Teorema della media

Come si calcola un integrale definito \( \int_a^b \, f(x) \, dx \)?
Per prima cosa calcola l’integrale indefinito \( \int \, f(x) \, dx \) così trovi l’insieme \( G(x)\) delle primitive di \( f(x)\).
Ora ti occorre una formula che leghi insieme \(G(x)\) delle primitive di \(f(x)\) all’integrazione \( [a,b]\).
Per trovarla abbiamo bisogno di:

definire una particolare primitiva chiamata funzione integrale
conoscere il teorema fondamentale del calcolo integrale, che dimostra che l’integrale è l’operazione inversa della derivata.
Per dimostrare questo importante teorema ti serve il teorema della media: l’area sottesa ad una curva \( f(x)\) e limitata dall’asse \( x\) e dall’intervallo \( [a,b] \) è uguale dell’area di un rettangolo di base \( b-a \) e di una certa altezza.

Una proprietà importante degli integrali definiti è espressa del teorema della media:
Se \( f(x) \) è una funzione continua in un intervallo \( [a,b] \), esiste almeno un punto \( c \) interno all’intervallo tale che
\( f(c) = \frac {1}{b-a} \, \int_a^b \,f(x) \, dx \)

Guarda la spiegazione completa per capire come calcolare l’integrale di una funzione costante.

Concetto di funzione integrale

Se \(f\) è una funzione continua in \( [a,b] \) e \( x \) è un punto interno all’intervallo, definiamo funzione integrale di \( f \) in \( [a,b] \) la funzione:
\( F (x) = \int_a^x \, f(t) \, dt \)

Fai gli esercizi con gli integrali definiti!

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Data la funzione \( f(x)\) continua in \( [a,b] \), la funzione integrale \( F (x) = \int_a^x \, f(t) \, dt \) è derivabile \( \forall \, x \in [a,b]\), e la sua derivata è \( f: F’ \, (x) = f(x) \).

Continua a leggere la spiegazione del concetto di funzione integrale.