Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi

Dopo aver studiato il concetto di limite e il calcolo dei limiti ecco la lezione dei teoremi sui limiti, i limiti notevoli, gli infiniti e infinitesimi.

La sfida

Data la tua recente esperienza con i router, un tuo amico ti chiede consiglio:il suo router, posto esattamente al di sotto del tuo computer fisso, in \( x_0 \), non fornisce il segnale minimo \( S= 5 \) necessario per connettersi.
Il segnale del router del tuo amico è dato dalla funzione:
\( S(x) = k \cdot \frac {1- cos \, x}{x^2}\)
Dove \( k\) è un parametro che devi configurare. Quale valore di \(k\) devi impostare perché il segnale minimo \(S=5\) sia raggiungibile?

Teoremi sui limiti

Teorema del confronto (o dei due carabinieri)

Il teorema è utile quando non sappiamo calcolare il limite di una funzione \(f(x)\) oppure il calcolo del limite è complicato e trovo due funzioni \( g (x), \, h(x)\) tali che:

\(h(x) \le f(x) \le g(x) \) in un intorno di \(x_0\) (è indifferente se \(x_0\) è compreso o meno)
vale \( \lim\limits_{x \to x_0} h (x) =\lim\limits_{x \to x_0} g (x) = \ell \), cioè i limiti di \( g (x), \, h(x)\) sono uguali

Allora \( \lim\limits_{x \to x_0} f (x) = \ell \).
Guarda l’esempio spiegato e risolto alla lezione Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi.

Teorema della permanenza del segno

Se \( \lim\limits_{x \to x_0} f (x) > \ell \) allora esiste un intorno \( I\) tale che \( f (x) > 0 \) per ogni \( x \in I\).
Guarda la spiegazione completa alla lezione Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi.

Inverso del teorema della permanenza del segno

Su un intorno di \( I\) di \( X_0\):

\(f(x) > 0 \)per ogni \( x \in I\) allora \( \lim\limits_{x \to x_0} f (x) > \ell \)
\(f(x) < 0 \)per ogni \( x \in I\) allora \( \lim\limits_{x \to x_0} f (x) < \ell \)

Limiti notevoli

I limiti notevoli sono limiti di funzioni che servono a velocizzare il calcolo di altri limiti.
Guarda tutta la spiegazione del:

\( \lim\limits_{x \to x_0} \frac {sen x}{x} =1 \)
\( \lim\limits_{x \to x_0} \frac {1 – cos x}{x} =0 \)
\( \lim\limits_{x \to x\infty} \left ( 1 + \frac{1}{x} \right )^x = e \)

alla lezione Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi.

Infiniti e infinitesimi

Rapporto tra infiniti

Se \( \lim\limits_{x \to x_0} f (x) = \lim\limits_{x \to x_0} g (x) = \infty \) vogliamo sapere quanto vale il limite del loro rapporto \( \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f (x)}{g(x)}\)

Guarda l’esempio spiegato e risolto alla lezione Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi.

Rapporto tra infinitesimi

Calcoliamo il rapporto tra infinitesimi per capire quale infinitesimo va a \( 0 \) più velocemente. L’obiettivo è risolvere la forma indeterminata \( \frac{0}{0}\)

Guarda l’esempio spiegato e risolto alla lezione Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi.