Trigonometria. Area del triangolo e teorema della corda

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Impara a calcolare l’area del triangolo e la misura delle corde di una circonferenza con la trigonometria e il teorema della corda.

La sfida

Stai organizzando un cineforum a casa di un tuo amico.
La stanza che volete utilizzare ha la parete curva e dovete capire come posizionare il proiettore.
Sai che la distanza tra le due pareti laterali, prima che inizia la curva, è di 3 m.
L’angolo visuale del proiettore è 120°.
Quanto deve essere distante il proiettore dalla parete curva potervi godere il cineforum?

Area del triangolo

L’area del triangolo è base \(b\) per altezza \(h\) diviso \( 2\):
\(A = \frac {b \cdot h}{2}\)
Dobbiamo trovare un’altra formula per calcolare l’area usando la trigonometria.
Consideriamo il triangolo \(ABC\) qualsiasi di cui conosciamo due lati \(a\) e \(b\) e l’angolo \(\gamma < \frac{\pi}{2}\) compreso tra \(a\) e \(b\).
Guarda l’immagine per capire la spiegazione della formula dell’area con la trigonometria alla lezione Area del triangolo e teorema della corda.
Tracciamo l’altezza relativa al lato \(AC\): il triangolo \(BHC\) è rettangolo con ipotenusa \(a\), quindi possiamo usare il primo teorema dei triangoli rettangoli:
\(h = BH = BC \, sen \, \gamma = a \, sen \, \gamma \)
Sostituiamo \(h\) nella formula \(A = \frac{b \cdot h}{2}\):
\(A = \frac{b \cdot (a \, sen \, \gamma)}{2} = \frac{1}{2} \, ab \, sen \, \gamma\)

Esercizio

Calcoliamo l’area del triangolo \(ABC\) sapendo che \(AC = b = 10, BC = a = \frac{10 \sqrt 3}{3}\) e \(sen \gamma = \frac{1}{2}\)
Come risolvere questo esercizio?
Guarda la soluzione completa alla lezione Area del triangolo e teorema della corda.

Teorema della corda

Il teorema della corda permette di conoscere la relazione tra la lunghezza della corda di una circonferenza e l’angolo
alla circonferenza relativo alla corda.
Disegniamo il diametro \(PB\) e uniamo \(B\) con l’altro estremo \(Q\) della corda \(PQ\).
Guarda l’immagine per capire la spiegazione della formula dell’area con la trigonometria alla lezione Area del triangolo e teorema della corda.
Chiamiamo \(\alpha\) l’angolo alla circonferenza della corda \(PQ\), cioè l’angolo \(\hat{PBQ}\)
Il triangolo \( PBQ\) è rettangolo in \(Q\) perchè inscritto in una semicirconferenza.
Applichiamo il primo teorema dei triangoli rettangoli:
\(PQ = PB \, sen \, \alpha = 2 \, r \, sen \, \alpha\)
Ecco quindi il teorema della corda:
La lunghezza di una corda di una circonferenza di raggio \(r\) è uguale al prodotto tra il diametro \(2r\) e il seno dell’angolo alla circonferenza che insiste su uno dei due archi determinati dalla corda.

Esercizio

Calcola la corda che forma una angolo alla circonferenza \(\alpha = \frac{\pi}{6}\). Il raggio è \(r = 2\).
Come risolvere questo esercizio?
Guarda la soluzione completa alla lezione Area del triangolo e teorema della corda.