Tutte le formule goniometriche degli angoli associati 25 mag 2015

Esistono degli angoli per i quali le funzioni gonomietriche hanno gli stessi valori, a meno del segno che può cambiare, oppure per i quali i valori delle funzioni goniometriche risultano scambiati. Sono gli angoli associati.

Se conosciamo il valore di un angolo \( \alpha \) puoi trovare le funzioni goniometriche degli angoli associati all’angolo \( \alpha \), ad esempio:

\( -\alpha, \quad 2\pi-\alpha, \quad \pi-\alpha, \quad \pi + \alpha, \\ \quad \frac{\pi}{2}-\alpha, \quad \frac{\pi}{2} + \alpha, \quad \frac{3}{2}\pi-\alpha, \quad \frac{3}{2}\pi + \alpha \)

Gli angoli associati che ti presentiamo sono:

Angoli opposti

Sono angoli opposti se sono congruenti e orientati in senso opposto
Guarda come si ricava la formula degli angoli opposti

Angoli esplementari

Sono angoli esplementari se la loro somma è 360°, cioè \(2\pi\)

Esercizio svolto
Calcola \( sen ( – \frac {\pi}{3})\).
L’angolo \(– \frac {\pi}{3}\) è l’opposto di \( \alpha = \frac{\pi}{3} \)
Quindi \(sen (- \alpha) = – sen \alpha \rightarrow sen (- \frac{\pi }{3}) = – sen \frac{\pi}{3} = – (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Angoli supplementari

Sono angoli supplementari se la loro somma è 180°, cioè \( \pi\)

Esercizio
Se \( \alpha = \frac {\pi}{4}\) quanto vale \( tg ( \pi + \alpha)\) ?
Guarda la soluzione e gli altri esercizi spiegati

Angoli la cui differenza è 180°, cioè \(\pi\)

Angoli complementari

Sono angoli complementari se la loro somma è 90°, cioè \(\frac{\pi}{2}\)

Esercizio
Se \( \alpha = \frac {\pi}{3}\) quanto vale \( cotg ( \frac {\pi}{2}\pi – \alpha)\) ?
Guarda la soluzione e gli altri esercizi spiegati

Angoli la cui differenza è 90°, cioè \(\frac{\pi}{2}\)

Angoli la cui somma o differenza è 270°

Esercizio svolto

Calcola \( sen ( \frac{7}{6} \pi) \)
Puoi riscrivere  l’angolo \( \frac {7}{6} \pi \) come \( \frac{9 – 2}{6} \pi\) e quindi \( sen (\frac {7}{6} \pi ) = sen (\frac{3}{2}\pi – \frac {\pi}{3})\)
Ora applica la formula \( sen (\frac{3}{2}\pi – \alpha) = – cos \alpha\)
e ottieni \( sen (\frac{3}{2}\pi – \frac{\pi}{3}) = cos \frac {\pi}{3} = – \frac{1}{2}\)

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Il riassunto delle formule degli angoli associati che devi ricordarti.

Tutte le formule si dimostrano ragionando sulle simmetrie della circonferenza goniometrica.
Formule goniometriche degli angoli associati