Le tassellazioni con il pentagono

Impara la differenza tra tassellazioni periodiche e tassellazioni non periodiche.

Appunti

Dal pentagono alla costruzione di frecce e aquiloni per realizzare la tassellazione non periodica di Penrose.

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Trova l’intruso

Osservate questo cartellone. Riuscite a individuare l’intruso?

L’intruso è la tassellazione colorata di rosso, verde, giallo e bianco: è una tassellazione non periodica.
Senza addentrarci nella definizione matematica, cerchiamo di trovare un modo per riconoscere la sua differenza rispetto alle altre.

Nel caso delle altre tassellazioni, se chiedessimo ad un piastrellista di rivestire un pavimento con piastrelle, nell’ordine, a forma di rombo, di dodecagono regolare e triangolo equilatero, o di esagono, l’artigiano non avrebbe alcun problema a realizzarlo. Meglio ancora: se volessimo riempire tutto il foglio con una tassellazione del genere, ci basterebbe realizzare un rettangolo con una parte dell’immagine e poi, copiando e incollando altri rettangoli e ponendo gli uni accanto agli altri, riusciremmo a riempire tutto il foglio.

Diverso è il caso della tassellazione realizzata con pentagoni, decagoni, stelle e… poligoni non regolari! Non è solo la forma delle tessere che la compone, ma lo stile stesso a renderla diversa dalle precedenti. In questo caso, la tassellazione comincia dalla stella centrale e si sviluppa seguendo un percorso circolare. Credo che il piastrellista avrebbe una certa difficoltà a capire come realizzare la pavimentazione, se non avesse a disposizione un disegno.

Per chi ha familiarità con il lavoro all’uncinetto, la tassellazione non periodica ricorda un po’ un centrino, mentre quella periodica potrebbe ricordare la rete del filet.

Tassellazioni con pentagoni?

È possibile realizzare una tassellazione fatta solo con i pentagoni? Ovvero, è possibile ricoprire il piano usando solo i pentagoni?

Come si può vedere dall’esempio, non è possibile! Ogni volta che avviciniamo tre pentagoni in un vertice, ci resta un piccolo angolo che non si può riempire in alcun modo.

 

In realtà… c’è un trucco per rendere possibile la tassellazione con il pentagono! Quella che vi mostriamo ora è una tassellazione molto particolare ed è non periodica.

Riuscite a individuare, all’interno della tassellazione, dei pentagoni? I pentagoni non sono disegnati all’interno della tassellazione, ma unendo alcuni vertici si possono costruire pentagoni e decagoni, a partire dalla stella centrale. Anche l’immagine stessa, tagliando un po’ di eccedenze e colmando alcuni vuoti, può essere racchiusa all’interno di un decagono.

 

Vi lasciamo a disposizione la scheda con il pentagono e una nuova scheda, che riporta la tassellazione non periodica.

Se la osserviamo bene, ci accorgiamo che ci sono solo due tessere che compongono la tassellazione: orientate in modo diverso, ma sono solo due. Queste due tessere vengono indicate, e potete capirne il motivo dalla loro forma, come frecce e aquiloni.

 Tutta la tassellazione è stata realizzata a computer, usando un software di geometria: perché frecce e aquiloni fossero estremamente precisi, sono stati disegnati a partire da un pentagono.

Freccia e aquilone

Avete il pentagono, avete l’esempio del foglio, vi chiediamo di trovare la freccia e l’aquilone nel vostro pentagono!

Guardando la seconda immagine possiamo ritrovare la sezione aurea all’interno della freccia e dell’aquilone e non solo: la freccia è formata da due gnomoni aurei, mentre l’aquilone è formato da due triangoli aurei.