Il nastro di Moebius

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Laboratorio di matematica a cura di Paolo Alessandrini. In questa lezione viene spiegato come costruire, utilizzando soltanto carta, nastro adesivo e forbici, un oggetto tanto semplice quanto sconcertante: il nastro di Moebius.

Appunti

Questo oggetto deve il suo nome ad August Ferdinand Möbius, matematico e astronomo tedesco che visse a cavallo tra Settecento e Ottocento.

Dopo aver studiato all’Università di Gottinga con il grande Carl Friedrich Gauss, August Ferdinand divenne professore di astronomia e meccanica superiore a Lipsia.

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Costruire il nastro di Moebius

Costruire un nastro di Moebius, come potete vedere nel video, è semplicissimo: basta prendere una striscia di carta e congiungerne le estremità dopo aver sottoposto una delle due a un mezzo giro, cioè a una torsione di 180°.

È sufficiente questo banale accorgimento per trasformare il nostro nastro di carta in qualcosa di apparentemente magico.

Superfici e facce

Provate a percorrere la striscia con un pennarello, partendo da un punto qualsiasi.

Cosa potete osservare? Curiosamente, si può percorrere l’intera superficie dell’oggetto. Dopo aver compiuto un giro completo, infatti, ci si ritrova dalla “parte opposta” rispetto al punto di partenza. Dopo un altro giro si ritorna al punto di partenza. L’anello ha quindi una sola faccia!

E se proviamo a seguire il bordo della striscia con un dito?

Ci ritroviamo, dopo un giro, sul bordo “opposto” rispetto al punto iniziale, e dopo un ulteriore giro torniamo sul punto di partenza. Il nostro strano nastro ha quindi anche un solo bordo!

Quanto abbiamo scoperto è molto strano: le superfici che siamo abituati a osservare, infatti (pensiamo ad esempio a un foglio di carta, o a un cilindro), hanno sempre due facce distinte, e per passare da una all’altra occorre attraversare una linea di demarcazione (bordo).

Ma il bello deve ancora arrivare. Proviamo a tagliare la striscia in senso longitudinale, cioè nel senso della lunghezza del nastro di carta.

Cosa vi aspettate di ottenere una volta terminato il taglio? Forse due nastri di Moebius separati?

No, come potete vedere nel video, e come potete constatare voi stessi, si ottiene un unico anello, diverso da quello originale perché caratterizzato da una torsione di 360° e non di 180°.

E se tagliamo la striscia una seconda volta?

Presto detto: ci ritroviamo, ancora più stranamente, con due nastri con torsione intera, l’uno intrecciato all’altro.

Curiosità

Le stranezze che abbiamo visto spiegano il motivo della grande fascinazione che questo oggetto ha sempre suscitato, non soltanto tra i matematici, ma anche tra gli artisti. Chi di voi ha ammirato le opere del famoso incisore olandese Maurits Cornelis Escher sa che tra le sue fonti di ispirazioni il nastro di Moebius occupa un posto rilevante. Il sorprendente anello si ritrova anche in molte opere letterarie e cinematografiche.

Un’ultima curiosità: il ben noto simbolo universale del riciclo non è altro che un nastro di Möbius.

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