Parabola e disequazioni di secondo grado

Scopri i legami tra la parabola e la risoluzione di disequazioni di secondo grado. Impara che risolvere una disequazione di secondo grado equivale a trovare gli intervalli in cui la parabola sta sopra o sotto all'asse x del piano cartesiano. Trovi tanti esercizi per allenarti. Comincia subito!

La parabola nel piano cartesiano è associata a una equazione di secondo grado. Se vuoi risolvere una disequazione allora basta disegnare la parabola e vedere in quali intervalli il grafico è sopra (£$>$£) o sotto (£$<$£) l'asse delle ascisse. Così è molto più veloce.
Ora che hai imparato quale legame c'è tra la parabola e le equazioni di secondo grado sei pronto per fare lo stesso collegamento con le disequazioni!
Guarda i video e allenati con gli esercizi. Sono tutti spiegati e svolti. Cosa aspetti!

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Prerequisiti per imparare i legami tra parabola e disequazioni di secondo grado

Il prerequsito per imparare i legami tra parabola e disequazioni di secondo grado è:

Parabola e disequazioni di secondo grado

In questa lezione scoprirai il legame tra parabola e la risoluzione di una disequazione di II grado.
In generale una disequazione di II grado è scritta nella forma £$ax^2+bx+c>0$£ oppure £$ ax^2+bx+c<0$£ .
Attenzione! Possiamo trovare anche £$\ge $£ (maggiore e uguale) e £$\le$£ (minore e uguale).
Per semplicità consideriamo il caso in cui £$a>0$£ … tanto sappiamo che nel caso in cui £$a<0$£ possiamo cambiare i segni (ricordati di cambiare anche il verso della disuguaglianza!) e riportare quindi la disequazione al caso £$a>0$£. Scriviamo allora l'equazione della parabola “associata" £$y=ax^2+bx+c$£.
Risolvere una disequazione di II grado equivale a vedere per quali intervalli della £$x$£ la parabola è:

  • sopra l'asse £$x$£, se il segno di disuguaglianza è £$ > $£;
  • sotto l'asse £$x$£, se il segno di disuguaglianza è £$ < $£.

Vediamo il caso di £$ax^2+bx+c>0 $£
Chiamiamo £$x_1$£ e £$x_2$£ le soluzioni dell'equazione associata alla disequazione.

  1. Se £$\Delta<0$£ (con £$a>0$£).
    L'equazione è impossibile perché per trovare le soluzioni dovremmo calcolare la radice quadrata di un numero negativo, che non esiste.
    La parabola non ha intersezioni con l'asse £$x$£ ed è sempre sopra l'asse £$x$£. La disequazione è sempre vera!
  2. Se £$\Delta=0 $£ (con £$a>0$£).
    Le 2 soluzioni sono coincidenti (£$x_1=x_2$£).
    La parabola interseca l'asse £$x$£ solo nel vertice, ed è sempre sopra l'asse £$x$£.
    Dunque nel punto di ascissa £$x=x_v$£, la £$y$£ della parabola è £$=0$£.
    La disequazione è quindi valida per ogni £$x$£ ad esclusione della £$x$£ del vertice se il simbolo di disuguaglianza non comprende l'uguale.
  3. Se £$\Delta>0 $£ (con £$a>0$£)
    Le 2 soluzioni sono distinte. La parabola interseca l'asse £$x$£ in £$x_1$£ e in £$x_2$£, ed è sotto l'asse £$x$£ tra £$x_1$£ e £$x_2$£ e sopra altrimenti.
    La parabola è sopra l'asse delle £$x$£ per tutti i valori esterni all'intervallo compreso tra £$x_1$£ e £$x_2$£.

Vediamo ora il caso di £$ax^2+bx+c<0$£

  1. Se £$\Delta<0 $£ (con £$a<0$£).
    L'equazione è impossibile perché per trovare le soluzioni dovremmo calcolare la radice di un numero negativo, che non esiste.
    La parabola non ha intersezioni con l'asse £$x$£ ed è sempre sopra l'asse £$x$£.
    La disequazione è quindi impossibile poiché la parabola non è mai sotto l'asse £$x$£: non è mai negativa.
  2. Se £$ \Delta=0 $£ (con £$a<0$£).
    Le 2 soluzioni sono coincidenti (£$x_1=x_2$£).
    La parabola interseca l'asse £$x$£ solo nel vertice, dopodiché è sempre sopra l'asse £$x$£.
    La disequazione quindi non è mai valida se il simbolo di disuguaglianza non comprende l'uguale, ed è valida solo per £$x=-\frac{b}{2a}$£ (£$x$£ del vertice) se il simbolo di disuguaglianza comprende anche l'uguale.
  3. Se £$\Delta>0 $£ (con £$a>0$£)
    Le 2 soluzioni sono distinte.
    La parabola interseca l'asse £$x$£ in £$x_1$£ e in £$x_2$£, ed è sotto l'asse £$x$£ tra £$x_1$£ e £$x_2$£ e sopra altrimenti.
    La disequazione è quindi valida per ogni £$x_1$£

All'interrogazione...

Risolvere le disequazioni usando le proprietà della parabola è utile perché velocizzi di molto i calcoli. Qui trovi alcune domande che potresti trovare nella verifica oppure all'interrogazione. Sei pronto?
Se vuoi allenarti di più, fai gli esercizi sulla parabola e le disequazioni di secondo grado. Sono tutti esercizi spiegati!

Sfida sulla parabola e le disequazioni

Come fai a capire quanto è lungo un dosso, se ha la forma di una parabola? È facile! Guarda la lezione e allenati con gli esercizi su parabola e disequazioni di secondo grado e prova a risolvere la sfida. Se hai dei dubbi, guarda la soluzione!

Esercizi svolti Parabola e disequazioni di secondo grado

Ecco gli esercizi su Parabola e disequazioni di secondo grado in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Equazioni di II grado e parabola. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Parabola e disequazioni di secondo grado - 1

La parabola e le disequazioni di secondo grado sono strettamente connesse. Ma come? E cos'è il metodo grafico per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado? Scoprilo con gli esercizi del livello 1.

Esercizi Parabola e disequazioni di secondo grado - 2

Quali informazioni dà il delta delle equazioni di secondo grado? Possiamo dire qualcosa sulle soluzioni? E come è fatta la parabola associata? Rispondi a queste domande con gli esercizi del livello 2!

Esercizi Parabola e disequazioni di secondo grado - 3

Le informazioni sulla parabola ti permettono di risolvere le disequazioni di secondo grado. Ma come si fa? Svolgi gli esercizi del livello 3 per scoprirlo!

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