Razionalizzazioni, radicali doppi e potenze con esponente razionale

Impara a razionalizzare le frazioni con un radicale al denominatore, a riconoscere e semplificare i radicali quadratici doppi e scopri un modo diverso di scrivere i radicali: come potenze con esponente razionale.

Come togliere una radice dal denominatore? Come semplificare i radicali doppi, ossia quelli che si presentano come una radice dentro un'altra radice? Come collegare le radici e le potenze con esponente razionale? I radicali ti tormentano e non trovi gli esempi giusti per capirli? Ci siamo qui noi per studiarli insieme a te!

Razionalizzare una frazione significa eliminare la radice che compare al denominatore così da ottenere una frazione più semplice!
A denominatore può esserci una radice o la somma (o differenza) tra un numero e una radice: nel primo caso, se l'indice della radice è £$2$£, moltiplica sopra e sotto per la stessa radice che hai a denominatore. Nel secondo caso invece aiutati con il prodotto notevole £$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$£ così la radice scomparirà dal denominatore!

Un radicale quadratico doppio è un radicale che ha al suo interno la somma (o la differenza) tra un numero e una radice. Lo troverai scritto così: £$\sqrt{a+\sqrt{b}}$£ oppure £$\sqrt{a-\sqrt{b}}$£
Per semplificarli puoi:

  • usare le formule (se riesci a ricordarle!)
  • provare a scomporre il radicando cercando la somma di due quadrati e un doppio prodotto per poterlo scrivere come un quadrato di binomio.

A volte è utile scrivere le radici in un'altro modo, infatti le radici possono essere scritte come potenze con esponente razionale: £$a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$£ con £$a \ge 0, n\ne0$£

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Prerequisiti per imparare razionalizzazioni, radicali doppi e potenze con esponente razionale

I prerequisiti per imparare razionalizzazioni, radicali doppi e potenze con esponente razionale sono:

Come razionalizzare una frazione

Cosa significa razionalizzare? Razionalizzare una frazione vuol dire cercare di eliminare la radice dai denominatori delle frazioni per semplificare lo svolgimento delle espressioni!
Ma come si fa? Se l'indice del radicale, al denominatore, è £$2$£ devi moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale, applicando quindi la proprietà invariantiva delle frazioni.
Se l'indice del radicale è maggiore di £$2$£ devi comunque cercare di eliminare la radice dal denominatore, ma in che modo? Con un esempio sarà tutto più chiaro: £$\dfrac{2}{\sqrt[7]{16}}=\dfrac{2}{\sqrt[7]{2^4}}=\dfrac{2\sqrt[7]{2^3}}{\sqrt[7]{2^4}\sqrt[7]{2^3}}=\dfrac{2\sqrt[7]{2^3}}{\sqrt[7]{2^7}}=\sqrt[7]{2^3}$£

Se invece il denominatore è della forma £$a\pm\sqrt{b}$£ per razionalizzare devi sfruttare il prodotto notevole £$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$£.

ATTENZIONE: nell'esempio del video dal minuto 1, viene detto che £$a \ge 0$£. In realtà deve essere sicuramente diverso da £$0$£ perché è al denominatore. Se l'indice del radicale è pari allora l'argomento deve essere positivo, se invece è dispari allora basta che sia diverso da £$0$£.

Radicali quadratici doppi

Un radicale quadratico doppio è un radicale che contiene la somma o la differenza di un numero e una radice e può essere scritto in questa forma £$\sqrt{a+\sqrt{b}}\ $£ oppure £$\sqrt{a-\sqrt{b}}$£

Dovrai quindi riuscire a scriverli in un modo migliore usando la formula
£$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=$££$\dfrac{1}{\sqrt2}$££$\bigl( \sqrt{a+\sqrt{a^2-b}} \ $£ £$\ \pm \ \ \sqrt{a-\sqrt{a^2-b}} \ \bigr)$£

Prima di applicare questo formulone prova a scomporre il radicando cercando la somma di due quadrati e un doppio prodotto per poterlo scrivere come un quadrato di binomio, così eviti di applicare la formula!

Potenze con esponente razionale

Una potenza con esponente razionale £$\frac{m}{n}$£ di un numero reale £$a$£ è la radice n-esima di £$a$£ elevato alla £$m$£: £$a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$£ con £$a \ge 0, n\ne0$£

Stai attento che non esistono le potenze che hanno un numero negativo alla base perché nella definizione hai la condizione £$a\ge0$£

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Cosa ti chiederà domani il professore a scuola nell'interrogazione? Preparati con le nostre domande sulla razionalizzazione, i radicali doppi e le potenze con esponente razionale!

Sfida sulla razionalizzazione!

Da casa tua, tu e il tuo amico Luca prendete due strade diverse per arrivare a casa di Luca. Alla fine ti accorgi di aver camminato più del tuo amico, ma quanto in rapporto? Cerca di risolvere la sfida sulla razionalizzazione e se proprio non riesci a trovare la soluzione guarda il video!

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Dopo questo livello di esercizi i radicali doppi non saranno più un problema per te! Se hai ancora dei dubbi leggi bene la spiegazione dopo il testo dell'esercizio!

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