Multipli, divisori e divisibilità

Multipli e divisori sono così diversi? Impara le definizioni e tutte le relazioni che li legano! Quali sono i multipli di un numero? Scopri che puoi dividere senza resto solo quando il dividendo è multiplo del divisore. Riconosci i divisori di un numero grazie ai criteri di divisibilità.

Abbiamo imparato a fare le quattro operazioni, ma è sempre possibile farle? Non ci sono problemi per le operazioni dirette, cioè l'addizione e la moltiplicazione, ma cosa possiamo dire della sottrazione e della divisione?

Ogni volta che moltiplichiamo un numero per un altro, troviamo un multiplo: il multiplo di un numero lo contiene esattamente un certo numero di volte.

Non è sempre possibile invece dividere un numero per un altro. Potremmo ottenere delle divisioni con il resto, cioè non esatte! In questo caso il divisore non è un multiplo del dividendo. Un numero è divisore di un altro numero se quest'ultimo è un suo multiplo.

Scopri i criteri di divisibilità per individuare i divisori di un numero naturale.

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Prerequisiti per ripassare la divisibilità

Prerequisiti per ripassare multipli, divisori e divisibilità:

Multipli di un numero

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Abbiamo ripassato le quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Aggiungendo una quantità ad un certo numero otteniamo un numero più grande; sottraendo una quantità ad un numero, invece, otteniamo un numero più piccolo. E con la moltiplicazione e la divisione cosa succede?

Moltiplicare un numero per un altro significa sommare il primo numero tante volte quante ne indica il secondo: di conseguenza otteniamo sicuramente un numero più grande! Cioè un multiplo! Infatti il termine multiplo significa proprio molto più, ad indicare un numero molto più grande di quello di partenza.

Un multiplo di un numero è il prodotto di quel numero per qualsiasi numero. Un multiplo di un numero è un numero che contiene il primo esattamente un numero di volte. Possiamo dirlo in matematichese: £$ a $£ è multiplo di £$ b $£ se esiste un numero £$ c $£ tale che £$ a = b \cdot c $£.

Esempio: £$ 18 $£ è multiplo di £$ 9 $£ perché è il prodotto di £$ 9 \cdot 2 $£, cioè il £$ 18 $£ contiene il £$ 9 $£ esattamente due volte. Ma allora è multiplo anche di £$ 2 $£! Poi sappiamo che è multiplo anche di £$ 3 $£ e di £$ 6 $£ perché £$ 6 \cdot 3 = 18 $£.

I multipli di un numero sono infiniti! Per esempio i multipli di £$ 3 $£ sono tutti i numeri che compaiono nella sua tabellina e oltre, senza fermarsi a £$ 3 \cdot 10 = 30 $£.

Tutti i multipli di £$ 2 $£ si chiamano numeri pari. Quelli che restano sono i numeri dispari.
Tutti i numeri sono multipli di £$ 1 $£ e di loro stessi. Infatti £$ a = a \cdot 1 $£ perché l’£$1$£ è l’elemento neutro della moltiplicazione.
E cosa possiamo dire per lo £$ 0 $£? Lo £$ 0 $£ è multiplo di tutti i numeri perché possiamo sempre dividerlo per un qualsiasi numero intero. Ma attenzione! Nessun numero è multiplo di £$ 0 $£.

Divisori e divisibilità

Un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale se il quoziente tra questi due numeri è ancora un numero naturale, quindi la divisione ha resto uguale a £$ 0 $£.

Esempio: £$ 12 $£ è divisibile per £$ 3 $£ perché £$ 12 : 3 = 4 $£, con resto £$ 0 $£. Ma è divisibile anche per £$ 4 $£! Infatti £$ 12 : 4 = 3 $£, con resto £$ 0 $£.

I numeri £$ 3 $£ e £$ 4 $£ sono divisori del numero £$ 12 $£. Infatti £$ 12 $£ è proprio uguale a £$ 3 \cdot 4 $£! Ma questi due numeri non sono gli unici divisori del £$ 12 $£:
£$ 12 : 1 = 12 \\ 12 : 2 = 6 \\ 12 : 3 = 4 \\ 12 : 4 = 3 \\ 12 : 6 = 2 \\ 12 : 12 = 1 $£
Quindi i divisori di £$ 12 $£ sono £$ 1, 2, 3, 4, 6 $£ e lo stesso £$ 12 $£. Dividendo il £$ 12 $£ per tutti questi numeri troviamo sempre un risultato esatto, senza resto. Possiamo rigirare la frittata e dire che il £$ 12 $£ è multiplo di tutti questi numeri, i suoi divisori.

Come facciamo a trovare i divisori di un numero? Sicuramente saranno dei numeri minori della metà di quel numero. Per esempio, i divisori di £$ 60 $£ vanno cercati tra i numeri da £$ 1 $£ a £$ 30 $£. Ma è veramente necessario fare tutte queste prove? Una volta trovato un divisore di un numero, ne troviamo anche un altro: facendo la divisione £$ 60 : 1 = 60 $£ troviamo che £$ 1 $£ è divisore, perché la divisione è esatta, ma anche £$ 60 $£. Quindi, in verità, per trovare tutti i divisori di un numero basta ricercare tra i numeri minori della radice quadrata di quel numero: i divisori di £$ 60 $£ sono da ricercare tra i numeri minori di £$ \sqrt{60} $£. Scoprirai la radice quadrata nel prossimo anno! Se sei curioso, dai un’occhiata alle nostre lezioni! ;-)
Sappiamo che £$ 1 $£ è divisore di tutti i numeri, perché tutti i numeri sono divisibili per £$ 1 $£ e per loro stessi. Non ci resta che provare a calcolare le divisioni per trovare tutti gli altri divisori. Quindi, quali sono tutti i divisori di £$ 60 $£?

Criteri di divisibilità

Come facciamo a capire se un numero è divisibile per un altro numero? Dobbiamo procedere per tentativi? Certo che no! Esistono i criteri di divisibilità!

I criteri di divisibilità permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro numero senza bisogno di fare la divisione, solo osservando dividendo e divisore. Vediamo i principali criteri:

  • tutti i numeri sono divisibili per £$ 1 $£ e per loro stessi;
  • un numero è divisibile per £$ 2 $£ se l’ultima cifra è pari £$ (0, 2, 4, 6 $£ o £$ 8) $£;
  • un numero è divisibile per £$ 5 $£ se la sua ultima cifra è £$ 0 $£ o £$ 5 $£;
  • un numero è divisibile per £$ 10 $£ se la sua ultima cifra è £$ 0 $£;
  • un numero è divisibile per £$ 4 $£ se le sue ultime due cifre sono £$ 00 $£ oppure formano un multiplo di £$ 4 $£;
  • un numero è divisibile per £$ 3 $£ se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di £$ 3 $£;
  • un numero è divisibile per £$ 9 $£ se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di £$ 9 $£;
  • un numero è divisibile per £$ 11 $£ se la differenza fra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari è £$ 0 $£ o un multiplo di £$ 11 $£.

Ti ricordi la canzone dei £$ 44 $£ gatti? In fila per £$ 6 $£ col resto di £$ 2 $£. Infatti £$ 44 $£ non è divisibile per £$ 6 $£! ;-)

Oltre ai criteri divisibilità possiamo servirci di alcuni trucchetti per trovare i divisori di un numero, le due regole della divisibilità.

Prima regola della divisibilità
Se un numero £$ a $£ è divisore di un numero £$ b $£ e questo è a sua volta divisore di un altro numero £$ c $£, allora £$ a $£ è un divisore di £$ c $£.
Esempio: £$ 3 $£ è un divisore di £$ 12 $£ e £$ 12 $£ è un divisore di £$ 24 $£. Allora anche £$ 3 $£ è divisore di £$ 24$£, infatti £$ 24 = 3 \cdot 8 $£.

Seconda regola della divisibilità
Se £$ a $£ è un divisore di £$ b $£ e di £$ c $£, allora è divisore anche della loro somma £$ b + c $£ e anche della loro differenza £$ b - c $£.
Esempio: £$ 3 $£ è un divisore di £$ 21 $£, ma è anche divisore di £$ 15 $£. Allora £$ 3 $£ è divisore della loro somma £$ 21 + 15 = 36 $£ (infatti £$ 36 = 3\cdot 12 $£) e della loro differenza £$ 21 - 15 = 6 $£ (infatti £$ 6 = 3 \cdot 2 $£).

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