Identità e equazioni

Come facciamo a capire se due espressioni letterali sono uguali? Utilizziamo le equazioni! Pensa ad una bilancia: quando le quantità sui due piatti sono uguali, la bilancia è in equilibrio.

Nello stesso modo, quando due espressioni letterali sono uguali, parliamo di identità. Impara a riconoscere le equazioni di primo grado.

Appunti

Con le equazioni e il calcolo letterale, possiamo iniziare a parlare di algebra. Introduciamo il concetto di "sconosciuto", "incognito". Ciò che non conosciamo, lo indichiamo con una lettera dell’alfabeto (di solito usiamo la £$ x $£).

Gli esempi più semplici di equazioni sono le identità, cioè delle uguaglianze sempre verificate.

Per esempio £$ 3 = 3 $£ è un’identità: un numero è sempre uguale a se stesso. Ma anche £$ 12x = 12x $£ è un’identità: sostituendo un numero qualsiasi al posto della £$ x $£, troveremo sempre lo stesso risultato.

Cos’è un’equazione invece? Il termine equazione significa uguaglianza. Infatti un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni in cui compare almeno un’incognita.

Un’equazione non è sempre verificata, va risolta, cioè va calcolato il valore di £$ x $£ che la rende un’identità.

Noi ci concentreremo in particolare sulle equazioni di primo grado in cui l’incognita compare solo con esponente uguale a £$ 1 $£.

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Prerequisiti per ripassare identità e equazioni

Che cos'è un'identità?

Prima di parlare di equazioni, capiamo bene cos’è un’identità.

Un’identità è un’uguaglianza sempre vera. Cioè abbiamo due espressioni letterali, due numeri, due frazioni, … uguali da una parte e dall’altra dell’uguale!

£$ 3 = 3 $£ è un’identità, ma anche £$ 32a = 32a $£ è un’identità perché è un'uguaglianza vera, qualunque sia il valore di £$ a $£.

Possiamo dire che un’identità è una bilancia sempre in equilibrio. Abbiamo già incontrato le identità studiando matematica: ogni volta che risolviamo un’espressione e troviamo il risultato corretto, siamo di fronte ad un’identità.

L’espressione iniziale è uguale al risultato che troviamo alla fine: anche se a prima vista sembrano due cose completamente diverse, hanno lo stesso valore.

Che cos'è un'equazione?

La prima equazione mai scritta

Un’identità è un’uguaglianza sempre verificata, quindi una bilancia sempre in equilibrio.

Un’equazione è, più semplicemente, un’uguaglianza tra due espressioni dove compare almeno un’incognita che indichiamo con una lettera dell’alfabeto. Il termine equazione, infatti, significa proprio uguaglianza.

Con le equazioni e il calcolo letterale, possiamo iniziare a parlare di algebra. Con l'algebra introduciamo il concetto di "sconosciuto". A differenza delle identità, l’uguaglianza in un’equazione non è sempre vera. Con le equazioni leghiamo qualcosa che non conosciamo a qualcosa che conosciamo, in modo da riuscire a trovare il valore dell'incognita.

Esempio: £$ 3x + 5 = 17 $£ è un’equazione: un’uguaglianza tra due espressioni che contiene un’incognita, la £$ x $£.

Per risolvere un’equazione, dobbiamo trovare il valore per l’incognita che rende vera l’uguaglianza, cioè che porta la bilancia ad essere in equilibrio.

Possiamo trovare un’equazione a partire da una qualsiasi espressione: prima di risolverla, non conosciamo il risultato, quindi questa è la nostra incognita!

L’obiettivo è quello di risolvere l’equazione, cioè trovare il valore dell’incognita e quindi, in questo caso, il risultato dell’espressione.

Esempio: £$ 4+ 5 - 6 $£ è una semplice espressione. Possiamo "farla diventare" un'equazione semplicemente aggiungendo l’uguale e l’incognita: £$ 4 + 5 - 6 = x $£.

Risolvere questa equazione, cioè trovare il valore della £$ x $£, equivale a risolvere la nostra espressione.

Il risultato è semplicemente £$ 3 = x $£ che possiamo leggere da sinistra verso destra o da destra verso sinistra, £$ x = 3 $£.

Equazioni di primo grado

Abbiamo studiato i monomi e i polinomi e abbiamo scoperto come riconoscere di quale grado sono.

Le equazioni sono uguaglianze tra espressioni che contengono almeno un’incognita, quindi sono ancora delle espressioni letterali, in particolare possono essere uguaglianze tra polinomi.

Possiamo capire il grado dell’equazione trovando il grado delle espressioni letterali.

Determinare il grado di un’equazione, quindi, è semplice: basta determinare il grado delle espressioni letterali che la compongono e scegliere il grado massimo.

Noi andremo ad analizzare in modo più approfondito le equazioni lineari, o equazioni di primo grado, cioè quelle equazioni in cui l’incognita compare con esponente uguale a £$ 1 $£.

Un’equazione di primo grado in forma normale è un’equazione del tipo £$ ax = b $£, con £$ a \ne 0 $£. Per scrivere un’equazione in forma normale, dobbiamo separare le incognite dai termini noti: le prime a sinistra e i secondi a destra (o viceversa).

La soluzione (o radice) è £$ x = \frac{b}{a} $£.

Esempio: £$ 5 x = 15 $£ è un’equazione di primo grado in forma normale. La sua soluzione è £$ x = 3 $£.

Sono equazioni di primo grado anche queste:

  • £$ 5x + 3a - 2k = 47 $£
  • £$ 52b - 6 = 8 $£
  • £$ \frac{6}{11} x + 4 = 2 $£