Formulario polinomi

Qui troverai tutte le formule che ti servono per risolvere gli esercizi di algebra sui polinomi. Ripassa tutte le proprietà e i procedimenti per risolvere le operazioni con monomi e polinomi. Non ti ricordi i prodotti notevoli? Ripassa tutto qui!

Se non ti ricordi qualche formula per svolgere i calcoli con i polinomi, sei nel posto giusto! In questa lezione leggerai:

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Tabella su polinomi e prodotti notevoli

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Consulta la tabella con tutte le proprietà dei polinomi e delle operazioni tra polinomi. Ritrova subito le formule dei prodotti notevoli.

Se vuoi il Formulario completo vai qui: I Formulari - Matematica - Tutte le formule dei tre anni di Scuola Media

Cosa sono i polinomi?

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Un polinomio è una qualsiasi espressione che può essere scritta come somma algebrica di monomi.

Esempio: sono polinomi £$ax^2 + by + c $£ e £$ 3x^2y^3 - 9ax$£

Un polinomio può assumere nomi diversi: è un binomio se è formato da due monomi, un trinomio se è formato da tre monomi, ecc.

Grado di un polinomio

Il grado complessivo di un polinomio è il maggiore tra i gradi dei monomi che lo compongono. Se tutti i monomi hanno lo stesso grado, allora il polinomio è omogeneo.

Esempio: £$a + b^2 + a^2b^3 + ab^2$£  

  • £$a$£ è di grado £$1$£
  • £$b^2$£ è di grado £$2$£
  • £$ a^2b^3$£ è di grado £$5$£
  • £$ab^2$£ è di grado £$3$£

Quindi il grado complessivo del polinomio è £$5$£.

Somma algebrica tra polinomi

La somma algebrica tra due polinomi è ancora un polinomio in cui sommiamo i monomi simili, se presenti.

Esempio: 

  • £$(2a + b  - c) + (5a + 17b + 32c) = $£ £$ 2a + 5a + b + 17b - c + 32c = $£ £$ 7a + 18b + 31c$£
  • £$(13a + 8b - 31c) - (5a + 6b - 5c)$£
    Con il segno £$ - $£, ricorda di cambiare il segno a tutti i termini del secondo polinomio!
    £$= 13a + 8b - 31c - 5a - 6b +5c =$£ £$ 13a - 5a + 8b - 6b - 31c + 5c = 8a + 2b - 26c$£

Prodotto di un monomio per un polinomio

Per moltiplicare un monomio per un polinomio utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. Moltiplichiamo il monomio per tutti i termini del polinomio e sommiamo tutti i prodotti ottenuti.

Attenzione al segno!

Esempio: £$2x \cdot (5x^4 - 32bx) = (2x \cdot 5x^4) - (2x \cdot 32bx) = 10x^5 - 64bx^2$£

Prodotto di polinomi

Per moltiplicare un polinomio per un altro polinomio utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma più volte. Quindi dobbiamo moltiplicare ogni termine del primo polinomio, per tutti i termini del secondo polinomio e sommare i prodotti ottenuti.

Attenzione al segno!

Esempio: £$(8xy + 5a) \cdot (3x^2y + 3a) = \\ = (8xy \cdot 3x^2y) + (8xy \cdot 3a) + (5a \cdot 3x^2y)+ (5a \cdot 3a) = \\ = 24x^3y^2 + 24axy + 15ax^2y + 15a^2$£

Formule prodotti notevoli

SOMMA PER DIFFERENZA

Dati due monomi £$A$£ e £$B$£, il prodotto della loro somma per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato di £$A$£ e il quadrato di £$B$£:

$$(A + B) \cdot (A - B) = A^2 - B^2 $$

Esempio: £$(3ax - 5y) \cdot (3ax + 5y) = (3ax)^2 - (5y)^2 = 9a^2x^2 - 25y^2$£

QUADRATO DI BINOMIO

Dati due monomi £$A$£ e £$B$£, il quadrato della loro somma è uguale al quadrato di £$A$£, sommato al quadrato di £$B$£, più il doppio prodotto di £$A$£ per £$B$£:

$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$

Esempio: £$(6x + 7y)^2 = (6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot 7y + (7y)^2 = 36x^2 + 84xy + 49y^2$£

Dati due monomi £$A$£ e £$B$£, il quadrato della loro differenza è uguale al quadrato di £$A$£, sommato al quadrato di £$B$£, meno il doppio prodotto di £$A$£ per £$B$£:

$$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$

Esempio: £$(5a - 7b)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 7b + (7b)^2 = 25a^2 - 70ab + 49b^2$£

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