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Proprietà delle potenze e formule
Formule delle proprietà delle potenze.
Qui trovi tutte le formule delle proprietà delle potenze. Ripassa le proprietà delle potenze con la stessa base o con lo stesso esponente.
Appunti
Come fare i prodottipiù velocemente? Semplice se conosci le proprietà delle potenze! Ripassa tutte le formule e le poroprietà delle potenze:
- proprietà delle potenze con la stessa base
- proprietà delle potenze con lo stesso esponente
- potenze particolari
- potenze di frazioni
- potenze di numeri relativi.
Contenuti di questa lezione su: Proprietà delle potenze e formule
Tabella delle proprietà delle potenze
Ripassa con la tabella tutte le proprietà delle potenze e le potenze particolari
Se vuoi scaricare il Formulario completo vai qui: I Formulari - Matematica - Tutte le formule dei tre anni di Scuola Media
Cosa sono le potenze?
Le potenze sono un modo veloce per scrivere le moltiplicazioni in cui tutti i fattori sono tutti uguali. L’esponente indica quante volte la base si ripete nella moltiplicazione.
Ad esempio se moltiplichiamo £$a$£ per se stesso £$n$£ volte:
£$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a = b$£ equivale a scrivere £$a^{n} = b$£ con £$a \ne 0$£, dove £$a$£ è la base e £$n$£ è l’esponente.
Esempio: £$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$£ equivale a scrivere £$2^4 = 16$£, dove £$ 2$£ è la base e £$4$£ è l’esponente.
Ricorda! Possiamo utilizzare le potenze anche con le lettere, i monomi e i polinomi.
Potenze di numeri relativi
Abbiamo studiato le potenze anche con i numeri relativi! Se £$a$£ è negativo e l’esponente è pari (lo indichiamo con £$ 2n $£), il risultato è un numero positivo:
$$ (-a)^{2n} = (-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a) = a^{2n} $$
Esempio: £$ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 $£.
Se £$a$£ è negativo e l’esponente è dispari (lo indichiamo con £$ 2n + 1 $£), il risultato è un numero negativo:
$$(-a)^{2n + 1} = (-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a) = -(a^{2n + 1})$$
Esempio: £$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $£.
Potenze di numeri razionali
Se la frazione £$\dfrac{a}{b}$£ è la base della potenza, il risultato è una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono potenze di quelli della frazione iniziale:
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^n}{b^n}$$
Potenze particolari
Due numeri che si comportano in modo particolare sono lo £$0$£ e l’£$1$£. Qualunque sia l'esponente £$n$£, se la base della potenza è £$1$£, il risultato della potenza è sempre £$1$£.
$$1^n = 1$$
Continuando a moltiplicare lo £$0$£ per se stesso, troveremo sempre £$0$£. Qualsiasi potenza di £$0$£, cioè qualunque sia l'esponente £$n$£ (diverso da zero), il risultato della potenza è sempre £$0$£.
$$0^n = 0$$
Qualsiasi numero (diverso da zero) elevato alla £$0$£ è sempre uguale a £$1$£!
$$a^0 = 1$$
Esempio: £$55^0 = 1$£, £$(-7)^0 = 1$£, £$\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 = 1$£
Prodotto di potenze con la stessa base
Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:
$$a^b · a^c = a^{b + c}$$
Esempio:
- £$2^2 · 2^3 = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$£
- £$ (-3)^3 · (-3)^4 = (-3)^{3 + 4} = (-3)^7 = -2187$£
- £$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2· \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2+4} = $£ £$ \left(\dfrac{3}{5}\right)^6 = \dfrac{3^6}{5^6} = \dfrac{729}{15625}$£
Quoziente di potenze con la stessa base
Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:
$$a^b : a^c = a^{b - c}$$
Esempio:
- £$4^7 : 4^5 = 4^{7 - 5} = 4^2 = 16$£
- £$(-5)^9 : (-5)^3 = (-5)^{9 - 3} = (-5)^6 = 15625$£
- £$\left( \dfrac{2}{7}\right)^{13}: \left(\dfrac{2}{7}\right)^9 = \left(\dfrac{2}{7}\right)^{13 - 9} = $£ £$ \left(\dfrac{2}{7}\right)^4 = \dfrac{2^4}{7^4} = \dfrac{16}{2401}$£
Prodotto di potenze con lo stesso esponente
Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente:
$$a^b · c^b = (a · c)^b$$
Esempio:
- £$9^5 · 6^5 = (9 · 6)^5 = 54^5 $£
- £$(-3)^3 · 4^3 = (-3 · 4)^3 = (-12)^3 = -1728$£
- £$\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 · \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{4} · \dfrac{2}{3}\right)^2 = $£ £$ \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{5^2}{6^2} = \dfrac{25}{36}$£
Quoziente di potenze con lo stesso esponente
Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come base il quoziente delle due basi e come esponente lo stesso esponente:
$$a^b : c^b = \left(\dfrac{a }{ c}\right)^b$$
Esempio:
- £$10^5 : 5^5 = \left(\dfrac{10}{5}\right)^5 = 2^5 = 32$£
- £$(-12)^3 : (-4)^3 = \left(\dfrac{-12}{ -4}\right)^3 = 3^3 = 27$£
- £$\left(\dfrac{36}{4}\right)^4 : \left(\dfrac{6}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{36}{4} \cdot \dfrac{4}{6}\right)^4 = 6^4 = 1296$£
Potenza di potenza
La potenza di potenza è una potenza elevata ad un altro esponente. Il risultato è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti:
$$(a^b)^c = a^{b · c}$$
Esempio:
- £$(3^2)^3 = 3^{2 · 3} = 3^6 = 729$£
- £$((-5)^3)^3 = (-5)^{3 · 3} = (-5)^9 = -5^9 $£
- £$\left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\right)^1 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3 · 1} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}$£