Proprietà delle potenze e formule

Le potenze sono un modo veloce per scrivere le moltiplicazioni in cui tutti i fattori sono tutti uguali. L’esponente indica quante volte la base si ripete nella moltiplicazione.

Ad esempio se moltiplichiamo £$a$£ per se stesso £$n$£ volte:

£$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a = b$£ equivale a scrivere £$a^{n} = b$£ con £$a \ne 0$£, dove £$a$£ è la base e £$n$£ è l’esponente.

Esempio: £$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$£ equivale a scrivere £$2^4 = 16$£, dove £$ 2$£ è la base e £$4$£ è l’esponente.

Ricorda! Possiamo utilizzare le potenze anche con le lettere, i monomi e i polinomi.

Abbiamo studiato le potenze anche con i numeri relativi! Se £$a$£ è negativo e l’esponente è pari (lo indichiamo con £$ 2n $£), il risultato è un numero positivo:

$$ (-a)^{2n} = (-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a) = a^{2n} $$

Esempio: £$ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 $£. 

Se £$a$£ è negativo e l’esponente è dispari (lo indichiamo con £$ 2n + 1 $£), il risultato è un numero negativo:

$$(-a)^{2n + 1} = (-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a) = -(a^{2n + 1})$$

Esempio: £$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $£.

Se la frazione £$\dfrac{a}{b}$£ è la base della potenza, il risultato è una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono potenze di quelli della frazione iniziale:

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b} =  \dfrac{a^n}{b^n}$$

Due numeri che si comportano in modo particolare sono lo £$0$£ e l’£$1$£. Qualunque sia l'esponente £$n$£, se la base della potenza è £$1$£, il risultato della potenza è sempre £$1$£.

$$1^n = 1$$

Continuando a moltiplicare lo £$0$£ per se stesso, troveremo sempre £$0$£. Qualsiasi potenza di £$0$£, cioè qualunque sia l'esponente £$n$£ (diverso da zero), il risultato della potenza è sempre £$0$£.

$$0^n = 0$$

Qualsiasi numero (diverso da zero) elevato alla £$0$£ è sempre uguale a £$1$£!

$$a^0 = 1$$

Esempio: £$55^0  = 1$£, £$(-7)^0 = 1$£, £$\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 = 1$£

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

$$a^b · a^c = a^{b + c}$$

Esempio: 

• £$2^2 · 2^3 = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$£
• £$ (-3)^3 · (-3)^4 = (-3)^{3 + 4} = (-3)^7 = -2187$£
• £$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2· \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2+4} = $£ £$ \left(\dfrac{3}{5}\right)^6 = \dfrac{3^6}{5^6} = \dfrac{729}{15625}$£

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:

$$a^b : a^c = a^{b - c}$$

Esempio: 

• £$4^7 : 4^5 = 4^{7 - 5} = 4^2 = 16$£
• £$(-5)^9 : (-5)^3 = (-5)^{9 - 3} = (-5)^6 = 15625$£
• £$\left( \dfrac{2}{7}\right)^{13}: \left(\dfrac{2}{7}\right)^9 = \left(\dfrac{2}{7}\right)^{13 - 9} = $£ £$ \left(\dfrac{2}{7}\right)^4 = \dfrac{2^4}{7^4} = \dfrac{16}{2401}$£

Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente:

$$a^b · c^b = (a · c)^b$$

Esempio: 

• £$9^5 · 6^5 = (9 · 6)^5 = 54^5 $£
• £$(-3)^3 · 4^3 = (-3 · 4)^3 = (-12)^3 = -1728$£
• £$\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 · \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{4} · \dfrac{2}{3}\right)^2 = $£ £$ \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{5^2}{6^2} = \dfrac{25}{36}$£

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come base il quoziente delle due basi e come esponente lo stesso esponente:

$$a^b : c^b = \left(\dfrac{a }{ c}\right)^b$$

Esempio: 

• £$10^5 : 5^5 = \left(\dfrac{10}{5}\right)^5 = 2^5 = 32$£
• £$(-12)^3 : (-4)^3 = \left(\dfrac{-12}{ -4}\right)^3 = 3^3 = 27$£
• £$\left(\dfrac{36}{4}\right)^4 : \left(\dfrac{6}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{36}{4} \cdot \dfrac{4}{6}\right)^4 = 6^4 = 1296$£

La potenza di potenza è una potenza elevata ad un altro esponente. Il risultato è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti:

$$(a^b)^c = a^{b · c}$$

Esempio: 

• £$(3^2)^3 = 3^{2 · 3} = 3^6 = 729$£
• £$((-5)^3)^3 = (-5)^{3 · 3} = (-5)^9 = -5^9 $£
• £$\left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\right)^1 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3 · 1} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}$£