Addizioni e sottrazioni con le frazioni

Impara le quattro operazioni con le frazioni! Addizioni e sottrazioni tra frazioni sono le più semplici. Ripassa il m.c.m. e risolvi somme e differenze tra frazioni. In questa lezione troverai anche tante espressioni con cui esercitarti per diventare un "mago" delle frazioni!

Le operazioni con le frazioni ti sembrano un'impresa impossibile? Risolvere addizioni e sottrazioni tra frazioni è più facile di quanto tu possa pensare!

Anche le frazioni infatti sono numeri, un po’ particolari, ma pur sempre numeri! Le frazioni sono divisioni che indicano le parti di un intero e sono un modo diverso per scrivere i numeri. Per esempio £$2=\frac{8}{4}=\frac{6}{3}$£, oppure £$1,5=\frac{3}{2}$£. Ora che lo sai, puoi imparare a fare tutte le operazioni che sai già svolgere con i numeri anche con le frazioni!

 
Per sommare o sottrarre le frazioni ricordati di ridurle al denominatore comune. Trova il minimo comune multiplo tra i denominatori: ora addizioni e sottrazioni tra frazioni diventeranno somme e differenze fra numeri interi!

Allenati con i nostri esercizi spiegati sulle operazioni con le frazioni.

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Prerequisiti per ripassare come risolvere addizioni e sottrazioni tra frazioni

Addizione e sottrazione tra frazioni con lo stesso denominatore

Per la somma tra due frazioni con lo stesso denominatore non dobbiamo imparare niente di nuovo. Se il denominatore delle due frazioni è uguale, basta sommare i due numeratori , il denominatore del risultato è sempre lo stesso.

Esempio: £$ \frac{8}{5} + \frac{3}{5} $£ hanno lo stesso denominatore £$ 5 $£, quindi la frazione somma è £$ \frac{8 + 3}{5} = \frac{11}{5} $£

La differenza tra due frazioni con lo stesso denominatore, funziona esattamente come l’addizione: il denominatore resta uguale e il numeratore è uguale alla differenza tra i due numeratori.

Esempio: £$ \frac{8}{5} - \frac{2}{5} $£ hanno lo stesso denominatore £$ 5 $£, quindi la frazione differenza è £$ \frac{8 - 2}{5} = \frac{6}{5} $£

Frazioni complementari

Due frazioni sono complementari se sommate danno come risultato l'intero, cioè la somma è una frazione che ridotta ai minimi termini è uguale a £$1$£. Esempi:

  • £$\frac{2}{7}$£ e £$\frac{5}{7}$£ sono frazioni complementari, infatti £$\frac{2}{7}+\frac{5}{7}=\frac{7}{7}=1$£
  • £$\frac{5}{4}$£ e £$\frac{3}{4}$£ NON sono frazioni complementari perché £$\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{8}{4}=2$£, sono £$2$£ interi, non £$1$£!
  • £$\frac{1}{2}$£ è il complementare di se stesso! Infatti £$\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$£

Addizione e sottrazione tra frazioni con denominatori diversi

Per sommare o sottrarre frazioni con denominatore diverso , dobbiamo ridurre le due frazioni al denominatore comune: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo le frazioni equivalenti. In questo modo troviamo due frazioni con lo stesso denominatore e possiamo sommare o sottrarre solo i numeratori!

La somma (o la differenza) di frazioni con denominatore diverso è uguale a una frazione che ha per denominatore il m.c.m. tra i due denominatori e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori delle frazioni equivalenti.

Esempio: £$ \frac{3}{2} + \frac{9}{5} $£ visto che £$ \text{m.c.m.}(2, 5) = 10 $£, le due frazioni equivalenti con denominatore uguale a £$ 10 $£ sono £$ \frac{3 \cdot (10 : 2)}{10} $£ e £$ \frac{9 \cdot (10 : 5)}{10} $£.
Allora dobbiamo calcolare la somma £$ \frac{15}{10} + \frac{18}{10} $£, quindi il risultato è £$ \frac{15 + 18}{10} = \frac{33}{10} $£

 

Proprietà delle addizioni e sottrazioni con le frazioni

Per l'addizione e la sottrazione tra frazioni valgono le proprietà dell'addizione e della sottrazione tra numeri naturali. Ripassiamo allora le proprietà di queste due operazioni e facciamo degli esempi. L'addizione tra frazioni ha la proprietà commutativa e la proprietà associativa .

La proprietà commutativa: cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.
Esempio: £$\frac{1}{2}+ \frac{7}{5}=\frac{7}{5}+\frac{1}{2}= \frac{19}{10}$£
Questa proprietà vale ancora perché per sommare due frazioni, prima facciamo il m.c.m tra i denominatori (e questo è sempre lo stesso, indipendentemente dall'ordine dei denominatori) poi sommiamo i numeratori, che sono numeri interi, per cui sappiamo già che vale la proprietà commutativa!

La proprietà associativa: sostituendo a due numeri la loro somma, il risultato non cambia.
Esempio: £$\frac{13}{12}+\frac{17}{12}+\frac{4}{3}=\left(\frac{13}{12}+\frac{17}{12} \right)+\frac{4}{3}$£
La proprietà associativa, anche nelle frazioni è molto utile quando viene applicata insieme alla commutativa. Infatti data l'espressione £$\frac{13}{12}+\frac{4}{3}+\frac{17}{12}+\frac{2}{3}$£ conviene risolvere prima le addizioni con denominatore uguale. Puoi metterle vicine per la proprietà commutativa e sommarle a due a due con l'associativa: £$\frac{13}{12}+\frac{4}{3}+\frac{17}{12}+\frac{2}{3}=\frac{13}{12}+\frac{17}{12}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{13+17}{12}+\frac{4+2}{3}$£! Non è necessario ogni volta scrivere tutti i passaggi! L'importante è essere sicuri di poter fare questi calcoli grazie alle proprietà che ce li permettono!

La sottrazione tra frazioni gode solo della proprietà invariantiva, proprio come nei numeri naturali. La proprietà invariantiva dice che aggiungendo o togliendo la stessa quantità ad entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia.
Esempio: £$ \frac{5}{6} - \frac{1}{3} $£ £$ = \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) $£ £$= \frac{6}{6} - \frac{3}{6} $£ £$ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $£
Questa proprietà può essere molto utile nel calcolo a mente e per verificare velocemente i tuoi calcoli!

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