Moltiplicazioni e divisioni tra frazioni

Moltiplicazioni e divisioni tra frazioni: impara tutte e quattro le operazioni con le frazioni! Scopri anche il trucco dei reciproci! Risolvere moltiplicazioni e divisioni con le frazioni sarà più facile dal momento che sono operazioni inverse.

Pronto a risolvere moltiplicazioni e divisioni tra frazioni? Oltre all’addizione e alla sottrazione, impara a fare con le frazioni tutte le quattro operazioni che hai già studiato per i numeri interi e le potenze. 

Scopri come calcolare il prodotto tra frazioni. Ricordati di semplificare in croce e moltiplicare in riga: ti aiuterà a fare i calcoli più velocemente.

Ti spaventa la divisione tra frazioni? Niente paura! La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: ti basterà imparare a risolvere i prodotti per saper fare anche i quozienti! Risolvi le divisioni tra frazioni con il trucco dei reciproci: il quoziente di due frazioni è uguale alla moltiplicazione della prima frazione per il reciproco della seconda, cioè per la seconda con numeratore e denominatore invertiti.

Ora che hai imparato tutte le operazioni con le frazioni puoi risolvere le espressioni e i problemi dei nostri esercizi e prepararti per la verifica!

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Prerequisiti per ripassare come risolvere moltiplicazioni e divisioni tra frazioni

Prerequisiti per ripassare come risolvere moltiplicazioni e divisioni tra frazioni:

Moltiplicazione tra una frazione e un numero intero

Il prodotto tra una frazione e un numero intero equivale a prendere quella frazione tante volte quante ne dice il numero, come abbiamo già visto per i numeri interi. Come per i numeri interi, quindi, la moltiplicazione è un'addizione ripetuta.
Svolgendo i calcoli, ti accorgerai che non è necessario passare alla somma ogni volta: la moltiplicazione fra una frazione ed un numero intero è una nuova frazione che ha lo stesso denominatore di quella di partenza e ha per numeratore il prodotto tra il numero intero ed il numeratore della frazione.

Per esempio fare £$ 3 \cdot \frac{2}{7} $£ vuol dire prendere la frazione £$ \frac{2}{7} $£ per £$ 3 $£ volte, cioè sommarla £$ 3 $£ volte £$ \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} $£. Il risultato di questa moltiplicazione è quindi £$ 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7} $£

Moltiplicazione tra frazioni

Il prodotto tra due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto tra i due numeratori e per denominatore il prodotto tra i due denominatori. Si chiama anche prodotto in riga: quello che sta sopra con quello che sta sopra e quello che sta sotto con quello che sta sotto.
In questo modo però non si trova sempre una frazione ridotta ai minimi termini, dovrai semplificare per trovarla! Per evitare questo calcolo, prima di svolgere la moltiplicazione, fai attenzione! Controlla sempre se puoi semplificare in croce, in modo da rendere i calcoli più semplici.

Esempio: £$ \frac{3}{5} \cdot \frac{25}{9} = \frac{75}{45} $£ che poi possiamo semplificare dividendo sopra e sotto per £$ 5 $£, quindi £$ \frac{15}{9} $£ che possiamo semplificare ancora per £$ 3 $£ e troviamo £$ \frac{5}{3} $£
Ma sarebbe stato tutto più facile se avessimo semplificato in croce fin dall’inizio il £$ 3 $£ con il £$ 9 $£ e il £$ 5 $£ con il £$ 25 $£. In questo modo troviamo subito la frazione ridotta ai minimi termini: £$ \frac{3}{5} \cdot \frac{25}{9} = \frac{5}{3} $£

Per moltiplicare due frazioni, quindi, devi prima semplificare in croce e poi moltiplicare in riga!
Attenzione! Questa regola vale anche per il prodotto tra una frazione ed un numero intero. Infatti un numero intero può essere visto come una frazione con denominatore £$1$£! Per esempio £$2 \cdot \frac{3}{7}=\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{7}=\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1}= \frac{6}{7}$£

Divisione tra frazioni

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Utilizziamo questa caratteristica per risolvere le divisioni tra frazioni. Partiamo da una definizione: l'inverso di una frazione, chiamato anche reciproco, è una frazione che, moltiplicata per quella di partenza dà come risultato £$1$£. Per scrivere l'inverso di una frazione, quindi, basta invertire numeratore e denominatore. Per esempio, l'inverso della frazione £$\frac{5}{2}$£ è £$\frac{2}{5}$£, infatti £$\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}=1$£. Nell'insieme dei razionali, puoi trovare anche l'inverso di un numero intero: l'inverso di £$4$£ è £$\frac{1}{4}$£. Non dimenticare che ogni numero intero può essere scritto come una frazione con denominatore uguale a £$1$£!
Il reciproco di una frazione serve per calcolare il quoziente tra frazioni. Per risolvere la divisione tra frazioni basta moltiplicare la prima frazione per il reciproco (o inverso) della seconda. Per risolvere una divisione di frazioni basta ricordare come fare una moltiplicazione di frazioni!
Esempio: £$ \frac{5}{4} : \frac{30}{12} = \frac{5}{4} \cdot \frac{12}{30} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $£

Attenzione! Non esiste la frazione reciproca (o inversa) di una frazione con numeratore uguale a £$ 0 $£. Infatti se invertiamo la frazione £$ \frac{0}{5} $£ troviamo la frazione con denominatore nullo £$ \frac{5}{0} $£ che è impossibile perché non possiamo dividere per £$ 0 $£!

Questa regola va bene anche per il quoziente tra una frazione e un numero.
Esempio: risolviamo £$ \frac{12}{5} : 6 $£ scrivendo il reciproco del numero £$ 6 $£, cioè £$ \frac{1}{6} $£, quindi troviamo che £$ \frac{12}{5} : 6 = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{6} $£. In questo modo possiamo semplificare in croce come abbiamo già imparato. Il risultato è sempre £$ \frac{2}{5} $£

Possiamo dire che la divisione tra una frazione ed un numero è ancora una frazione che ha al numeratore il quoziente tra i due numeratori e al denominatore il quoziente tra i denominatori.
Esempio: £$ \frac{12}{5} : 6 = \frac{12 : 6}{5 : 1} = \frac{2}{5} $£

Proprietà della moltiplicazione tra frazioni

Per il prodotto di frazioni sono valide le stesse proprietà della moltiplicazione tra numeri naturali. Le proprietà della moltiplicazione tra frazioni sono tre: la proprietà commutativa, la proprietà associativa e la proprietà distributiva.

La proprietà commutativa: cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia. Per risolvere la moltiplicazione semplifichiamo in croce e moltiplichiamo in riga: cambiare l'ordine dei fattori non influisce su questa regola!
Esempio: £$ \frac{7}{4} \cdot \frac{32}{21} = \frac{32}{21} \cdot \frac{7}{4} = \frac{8}{3}$£

La proprietà associativa: sostituendo a due fattori il loro prodotto, il risultato della moltiplicazione non cambia.
Esempio: £$ \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{6}{4} = $£ £$ \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} \right) \cdot \frac{6}{4} = \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{4}= \frac{18}{20}$£ ma anche £$ \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{6}{4} = $£ £$ \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{2}{5}\cdot \frac{6}{4} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{10}= \frac{18}{20}$£

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma: moltiplicare una frazione per una somma di frazioni è uguale a moltiplicare la frazione per ogni addendo e poi sommare.
Esempio: £$\frac{2}{5} \cdot \left( \frac{5}{2} + \frac{15}{32} \right)= \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{32} = 1+\frac{3}{16}=\frac{18}{16}$£

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