Frazioni e numeri decimali periodici
Se hai imparato a trasformare i numeri decimali in frazioni e viceversa, puoi fare la stessa cosa anche con i numeri decimali periodici semplici o misti. Non tutti i numeri decimali possono essere scritti sotto forma di frazione, come ad esempio nel caso dei numeri irrazionali, che si chiamano così perché hanno infinite cifre dopo la virgola.
Un numero decimale illimitato può essere periodico o non periodico. Un numero decimale periodico ha infinite cifre dopo la virgola:
- se queste cifre si ripetono sempre uguali, che sia una o gruppi, si chiama periodico semplice;
- se invece ci sono alcune cifre che si ripetono e altre no, allora si chiama periodico misto.
Imparerai in questa lezione come passare da un numero decimale periodico ad una frazione. La formula per trasformare un numero decimale in frazione cambia a seconda che il numero sia decimale limitato o periodico semplice o misto, ma le vedremo entrambe in questa lezione.
- Numeri periodici semplici e misti
- Dal numero periodico misto alla frazione
- Dal numero periodico semplice alla frazione
Numeri periodici semplici e misti
Passando dalla frazione al numero decimale abbiamo visto che possiamo ottenere dei numeri "semplici", per esempio £$\dfrac{1}{2}=0,5$£, oppure un po’ più complessi da calcolare, per esempio £$\dfrac{1}{3}=0,33333…$£
Quelli più semplici da calcolare sono quelli che hanno un numero finito di cifre dopo la virgola, gli altri sono quelli che hanno tanti numeri dopo la virgola, che possono essere tutti uguali £$ \left( \dfrac{1}{3}=0,3333… \right) $£ oppure uguali a gruppi £$ \left( \dfrac{1}{55}=0,0181818181… \right) $£. Come si chiamano questi numeri?
I numeri decimali periodici sono numeri con le cifre dopo la virgola che si ripetono senza mai fermarsi. Quindi il numero £$ 0,3333… $£ è un numero periodico: il periodo è il numero che si ripete dopo la virgola, in questo caso è il £$ 3 $£. Di solito scriviamo questi numeri così: £$ 0,3333… = 0,\overline{3} $£, con un trattino sopra alla cifra che costituisce il periodo.
Distinguiamo due tipi di numeri periodici:
- i numeri periodici semplici sono quei numeri in cui le cifre dopo la virgola si ripetono tutte uguali e formano il periodo. Per esempio £$ 1,626262… = 1,\overline{62} $£ è un numero periodico semplice il cui periodo è costituito dal numero £$ 62 $£;
- i numeri periodici misti sono quei numeri in cui le cifre dopo la virgola non si ripetono sempre uguali, ma presentano un numero prima del periodo. Per esempio il numero £$ 5,67333… = 5,67\overline{3} $£ è un numero periodico misto in cui, prima del periodo compare il numero £$ 67 $£, detto antiperiodo.
Dal numero periodico misto alla frazione
Se le cifre dopo la virgola non fanno tutte parte del periodo, siamo di fronte ad un numero decimale periodico misto, come nel caso del numero £$ 2,35\overline{7} $£.
Per trovare la frazione generatrice di un numero periodico misto scriviamo al numeratore la differenza tra tutto il numero senza la virgola e i numeri dell’antiperiodo, al denominatore tanti £$ 9 $£ quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti £$ 0 $£ quante sono le cifre dell’antiperiodo, cioè le cifre dopo la virgola non periodiche.
Esempi:
£$ 2,35\overline{7} = \dfrac{2357 – 235}{900} = \dfrac{2122}{900} $£ £$0,00\overline{6}= \dfrac{6-0}{900}$£Dal numero periodico semplice alla frazione
Come trasformare un numero decimale periodico in frazione?
Vediamo come trasformare un numero decimale periodico semplice in una frazione. La frazione che corrisponde al numero decimale periodico si chiama generatrice: per trovarla mettiamo al numeratore tutto il numero senza la virgola e al denominatore tanti £$ 9 $£ quante sono le cifre che formano il periodo.
Il numero £$ 0,\overline{3} $£ corrisponde alla frazione £$ \dfrac{3}{9} $£ perché il periodo è formato da una sola cifra! Se semplifichiamo questa frazione otteniamo £$\dfrac{1}{3}=0,\overline{3}$£.
Esempio: £$ 0,45454545… = 0,\overline{45} $£
In questo caso ci sono due cifre che si ripetono dopo la virgola, il £$ 4 $£ e il £$ 5 $£. Questo numero corrisponde alla frazione £$ \dfrac{45}{99} $£
Ora che hai imparato, prova ad esercitarti in autonomia e torna a leggere questa lezione ogni volta che ne avrai bisogno!