Massimo Comun Divisore

Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) è il più grande divisore comune a due o più numeri. 

Scopri come calcolare il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) tra due o più numeri attraverso la scomposizione in fattori primi.

Appunti

A cosa serve trovare il Massimo Comun Divisore tra due o più numeri? 

Numeri diversi possono avere stessi multipli e stessi divisori.

È utile conoscere quali divisori hanno in comune due o più numeri per poter semplificare velocemente numeratore e denominatore di una frazione: se la riduci ai minimi termini vedrai che il numeratore e il denominatore saranno due numeri primi tra loro!

PREREQUISITI

Ripassa per prepararti a questo argomento:

  • la moltiplicazione,
  • la divisione,
  • la scomposizione in fattori,
  • le potenze,
  • le proprietà delle potenze con la stessa base,
  • le proprietà delle potenze con lo stesso esponente.

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Prerequisiti per imparare il Massimo Comun Divisore

Come calcolare il Massimo Comun Divisore (M.C.D.)

Tra tutti i divisori di un numero è interessante trovare il massimo, cioè il più grande.

Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) tra due (o più) numeri è il più grande tra i divisori che hanno in comune.

Per facilitare la ricerca del Massimo Comun Divisore, seguiamo questo procedimento:

  • scomponiamo i numeri in fattori primi;
  • moltiplichiamo i fattori comuni prendendoli una volta sola, con l’esponente più piccolo.

Esempio: £$ \text{M.C.D.}(36, 48) = 12 $£ infatti se scomponiamo in fattori primi troviamo £$ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $£ e £$ 48 = 2^4 \cdot 3 $£. Per trovare il M.C.D., scegliamo i fattori comuni con l’esponente minore, quindi £$ \text{M.C.D.}(36, 48) = 2^2 \cdot 3 = 12 $£.

Può capitare che due numeri non abbiano nessun divisore comune se non l’£$ 1 $£. In questo caso diciamo che i due numeri sono primi tra loro o coprimi. Questo non vuol dire che sono due numeri primi, ma semplicemente che non hanno divisori in comune.

Esempio: £$ \text{M.C.D.}(15, 34) = 1 $£ perché scomponendo in fattori primi i due numeri, troviamo che £$ 15 = 3 \cdot 5 $£ e £$ 34 = 2 \cdot 17 $£. Vediamo che non ci sono divisori comuni, quindi il massimo, nonché l'unico divisore che hanno in comune, è l’£$ 1 $£.

Il M.C.D. è sempre diverso da £$ 0 $£ perché, come dovremmo avere ormai imparato, non possiamo dividere per £$ 0 $£.

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Proprietà del M.C.D.

Proviamo a capire il Massimo Comun Divisore legandolo alla geometria. Prendiamo due numeri naturali, £$ a $£ e £$ b $£, e disegniamo un rettangolo che ha dimensioni £$ a \times b $£. Possiamo definire il £$ \text{M.C.D.}(a, b) $£ come il lato massimo del quadrato che può piastrellare il rettangolo.

Esempio: £$ \text{M.C.D.}(15, 6) = 3 $£, quindi, disegnato un rettangolo di dimensioni £$ 15 \times 6 $£ possiamo ricoprirlo con quadratini che hanno lato di lunghezza £$ 3 $£.

Ogni divisore comune a due numeri è anche divisore del loro M.C.D..

Calcoliamo il M.C.D. tra due numeri £$ a $£ e £$ b $£: se £$ a $£ è un divisore di £$ b $£, allora £$ a = \text{M.C.D.}(a, b) $£

Esempio: consideriamo i due numeri £$ 7 $£ e £$ 35 $£. Con la scomposizione in fattori primi vediamo che £$ \text{M.C.D}(7, 35) = 7 $£ e £$ \text{m.c.m.}(7, 35) = 35 $£ perché il £$ 7 $£ è un divisore del £$ 35 $£.

Per calcolare il M.C.D. tra due numeri, utilizziamo la scomposizione in fattori primi e poi scegliamo i fattori comuni come abbiamo studiato. Ma, per velocizzare i calcoli, possiamo sfruttare la proprietà associativa:

Esempio: £$ \text{M.C.D.}(4, 12, 28) = \text{M.C.D.}(\text{M.C.D.}(4, 12), 28) = $£ £$ \text{M.C.D.}(4, \text{M.C.D.}(12, 28)) $£