Divisori e criteri di divisibilità: come calcolarli
I divisori e la divisibilità sono elementi molto importanti quando parliamo di matematica: che sia durante un’interrogazione o durante una verifica, un esercizio oppure un problema, potrebbe capitarvi di dover calcolare quali sono i divisori di un numero oppure di dover utilizzare i criteri e le regole della divisibilità.
Un divisore è un numero che divide esattamente un altro numero, senza lasciare resto. In altre parole, se un numero A può essere diviso da un altro numero B senza lasciare resto, allora si dice che B è un divisore di A. Per esempio, consideriamo il numero 12: i suoi divisori sono £$1, 2, 3, 4, 6, 12$£, perché ciascuno di questi numeri può dividere 12 senza lasciare resto.
Per trovare i divisori di un numero, si può iniziare dividendo quel numero per tutti i numeri inferiori a esso. Ogni volta che la divisione non lascia resto, allora il numero utilizzato per dividere è un divisore. Ma non preoccuparti, scoprirai in questo articolo come fare per calcolare i divisori senza incappare in alcun errore!
- Divisori e divisibilità
- Come trovare il divisore di un numero?
- Criteri di divisibilità dei numeri
- Prima regola della divisibilità
- Seconda regola della divisibiltà
- Esercizi sul Massimo Comun Divisore
Divisori e divisibilità
Un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale se il quoziente tra questi due numeri è ancora un numero naturale, quindi la divisione ha resto uguale a £$ 0 $£.
Esempio: £$ 12 $£ è divisibile per £$ 3 $£ perché £$ 12 : 3 = 4 $£, con resto £$ 0 $£. Ma è divisibile anche per £$ 4 $£! Infatti £$ 12 : 4 = 3 $£, con resto £$ 0 $£.
I numeri £$ 3 $£ e £$ 4 $£ sono divisori del numero £$ 12 $£. Infatti £$ 12 $£ è proprio uguale a £$ 3 \cdot 4 $£! Ma questi due numeri non sono gli unici divisori del £$ 12 $£:
£$ 12 : 1 = 12 \\ 12 : 2 = 6 \\ 12 : 3 = 4 \\ 12 : 4 = 3 \\ 12 : 6 = 2 \\ 12 : 12 = 1 $£Quindi i divisori di £$ 12 $£ sono £$ 1, 2, 3, 4, 6 $£ e lo stesso £$ 12 $£. Dividendo il £$ 12 $£ per tutti questi numeri troviamo sempre un risultato esatto, senza resto. Possiamo rigirare la frittata e dire che il £$ 12 $£ è multiplo di tutti questi numeri, i suoi divisori.
Come trovare il divisore di un numero?
Come facciamo a trovare i divisori di un numero? Ci sono tanti piccoli trucchi. Vediamone qualcuno!
I divisori di un numero sono numeri minori della metà di quel numero.
Esempio: i divisori di £$ 60 $£ vanno cercati tra i numeri da £$ 1 $£ a £$ 30 $£.
Tra i divisori di un numero ci sono il numero stesso e il numero £$ 1 $£, perché tutti i numeri sono divisibili per loro stessi e per £$ 1 $£.
Esempio: facendo la divisione £$ 60 : 1 = 60 $£ troviamo che £$ 1 $£ è divisore, perché la divisione è esatta.
Esempio: £$ 60 $£ è il divisore di £$ 60 $£.
I divisori di un numero si possono ricercare tra i numeri minori della radice quadrata di quel numero.
Esempio: i divisori di £$ 60 $£ sono da ricercare tra i numeri minori di £$ \sqrt{60} $£. Scoprirai la radice quadrata il prossimo anno! 😉
Non ci resta che provare a calcolare le divisioni per trovare tutti gli altri divisori.
Quindi, quali sono tutti i divisori di £$ 60 $£?
Criteri di divisibilità dei numeri
Come facciamo a capire se un numero è divisibile per un altro numero? Dobbiamo procedere per tentativi? Certo che no! Esistono i criteri di divisibilità!
I criteri di divisibilità permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro numero senza bisogno di fare la divisione, solo osservando dividendo e divisore. Vediamo i principali criteri:
- tutti i numeri sono divisibili per £$ 1 $£ e per loro stessi;
- un numero è divisibile per £$ 2 $£ se l’ultima cifra è pari £$ (0, 2, 4, 6 $£ o £$ 8) $£;
- un numero è divisibile per £$ 5 $£ se la sua ultima cifra è £$ 0 $£ o £$ 5 $£;
- un numero è divisibile per £$ 10 $£ se la sua ultima cifra è £$ 0 $£;
- un numero è divisibile per £$ 4 $£ se le sue ultime due cifre sono £$ 00 $£ oppure formano un multiplo di £$ 4 $£;
- un numero è divisibile per £$ 3 $£ se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di £$ 3 $£;
- un numero è divisibile per £$ 9 $£ se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di £$ 9 $£;
- un numero è divisibile per £$ 11 $£ se la differenza fra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari è £$ 0 $£ o un multiplo di £$ 11 $£.
Ti ricordi la canzone dei £$ 44 $£ gatti? In fila per £$ 6 $£ col resto di £$ 2 $£. Infatti £$ 44 $£ non è divisibile per £$ 6 $£! 😉
Trovi la tabella con tutte le formule qui.
Prima regola della divisibilità
Oltre ai criteri di divisibilità possiamo servirci di alcuni trucchetti per trovare i divisori di un numero, le due regole della divisibilità.
Prima regola della divisibilità.
Se un numero £$ a $£ è divisore di un numero £$ b $£ e questo è a sua volta divisore di un altro numero £$ c $£, allora £$ a $£ è un divisore di £$ c $£.
Esempio: £$ 3 $£ è un divisore di £$ 12 $£ e £$ 12 $£ è un divisore di £$ 24 $£. Allora anche £$ 3 $£ è divisore di £$ 24$£, infatti £$ 24 = 3 \cdot 8 $£.
Questo significa che la divisibilità è transitiva: se £$ a $£ è divisibile per £$ b $£ e £$ b $£ è divisibile per £$ c $£, allora anche £$ a $£ è divisibile per £$ c $£.
Seconda regola della divisibiltà
Seconda regola della divisibiltà
Se £$ a $£ è un divisore di £$ b $£ e di £$ c $£, allora è divisore anche della loro somma £$ b + c $£ e anche della loro differenza £$ b – c $£.
Esempio: £$ 3 $£ è un divisore di £$ 21 $£, ma è anche divisore di £$ 15 $£. Allora £$ 3 $£ è divisore della loro somma £$ 21 + 15 = 36 $£ (infatti £$ 36 = 3\cdot 12 $£) e della loro differenza £$ 21 – 15 = 6 $£ (infatti £$ 6 = 3 \cdot 2 $£).
Esercizi sul Massimo Comun Divisore
Dubbi su M.C.D. e verifica di matematica in vista? Segui l’esempio fornito e risolvi questi esercizi: il Massimo Comun Divisore non avrà più segreti per te!
Scarica qui il pdf con gli esercizi: