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Divisori e criteri di divisibilità
Quali sono i divisori di un numero? Sono tutti quei numeri tali per cui otteniamo una divisione esatta, cioè senza resto. Impara come individuare i divisori di ciascun numero.
Appunti
Studiando le divisioni, abbiamo capito che è possibile imbattersi in divisioni esatte e divisioni con il resto.
Quando risolviamo una divisione esatta, abbiamo trovato un divisore di un numero. Un numero è divisore di un altro numero se quest'ultimo è un suo multiplo.
Esistono delle regole particolari, i criteri di divisibilità, che ci permettono di individuare quali sono i divisori di un numero naturale.
PREREQUISITI
Ripassa i multipli e la divisione per affrontare al meglio i concetti di questa lezione.
Contenuti di questa lezione su: Divisori e criteri di divisibilità
Divisori e divisibilità
Un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale se il quoziente tra questi due numeri è ancora un numero naturale, quindi la divisione ha resto uguale a £$ 0 $£.
Esempio: £$ 12 $£ è divisibile per £$ 3 $£ perché £$ 12 : 3 = 4 $£, con resto £$ 0 $£. Ma è divisibile anche per £$ 4 $£! Infatti £$ 12 : 4 = 3 $£, con resto £$ 0 $£.
I numeri £$ 3 $£ e £$ 4 $£ sono divisori del numero £$ 12 $£. Infatti £$ 12 $£ è proprio uguale a £$ 3 \cdot 4 $£! Ma questi due numeri non sono gli unici divisori del £$ 12 $£:
£$ 12 : 1 = 12 \\ 12 : 2 = 6 \\ 12 : 3 = 4 \\ 12 : 4 = 3 \\ 12 : 6 = 2 \\ 12 : 12 = 1 $£
Quindi i divisori di £$ 12 $£ sono £$ 1, 2, 3, 4, 6 $£ e lo stesso £$ 12 $£. Dividendo il £$ 12 $£ per tutti questi numeri troviamo sempre un risultato esatto, senza resto. Possiamo rigirare la frittata e dire che il £$ 12 $£ è multiplo di tutti questi numeri, i suoi divisori.
Come trovare il divisore di un numero?
Come facciamo a trovare i divisori di un numero? Ci sono tanti piccoli trucchi. Vediamone qualcuno!
I divisori di un numero sono numeri minori della metà di quel numero.
Esempio: i divisori di £$ 60 $£ vanno cercati tra i numeri da £$ 1 $£ a £$ 30 $£.
Tra i divisori di un numero ci sono il numero stesso e il numero £$ 1 $£, perché tutti i numeri sono divisibili per loro stessi e per £$ 1 $£.
Esempio: facendo la divisione £$ 60 : 1 = 60 $£ troviamo che £$ 1 $£ è divisore, perché la divisione è esatta.
Esempio: £$ 60 $£ è il divisore di £$ 60 $£.
I divisori di un numero si possono ricercare tra i numeri minori della radice quadrata di quel numero.
Esempio: i divisori di £$ 60 $£ sono da ricercare tra i numeri minori di £$ \sqrt{60} $£. Scoprirai la radice quadrata il prossimo anno! ;-)
Non ci resta che provare a calcolare le divisioni per trovare tutti gli altri divisori.
Quindi, quali sono tutti i divisori di £$ 60 $£?
Criteri di divisibilità
Come facciamo a capire se un numero è divisibile per un altro numero? Dobbiamo procedere per tentativi? Certo che no! Esistono i criteri di divisibilità!
I criteri di divisibilità permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro numero senza bisogno di fare la divisione, solo osservando dividendo e divisore. Vediamo i principali criteri:
- tutti i numeri sono divisibili per £$ 1 $£ e per loro stessi;
- un numero è divisibile per £$ 2 $£ se l’ultima cifra è pari £$ (0, 2, 4, 6 $£ o £$ 8) $£;
- un numero è divisibile per £$ 5 $£ se la sua ultima cifra è £$ 0 $£ o £$ 5 $£;
- un numero è divisibile per £$ 10 $£ se la sua ultima cifra è £$ 0 $£;
- un numero è divisibile per £$ 4 $£ se le sue ultime due cifre sono £$ 00 $£ oppure formano un multiplo di £$ 4 $£;
- un numero è divisibile per £$ 3 $£ se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di £$ 3 $£;
- un numero è divisibile per £$ 9 $£ se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di £$ 9 $£;
- un numero è divisibile per £$ 11 $£ se la differenza fra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari è £$ 0 $£ o un multiplo di £$ 11 $£.
Ti ricordi la canzone dei £$ 44 $£ gatti? In fila per £$ 6 $£ col resto di £$ 2 $£. Infatti £$ 44 $£ non è divisibile per £$ 6 $£! ;-)
Trovi la tabella con tutte le formule qui.
Prima regola della divisibilità
Oltre ai criteri di divisibilità possiamo servirci di alcuni trucchetti per trovare i divisori di un numero, le due regole della divisibilità.
Prima regola della divisibilità.
Se un numero £$ a $£ è divisore di un numero £$ b $£ e questo è a sua volta divisore di un altro numero £$ c $£, allora £$ a $£ è un divisore di £$ c $£.
Esempio: £$ 3 $£ è un divisore di £$ 12 $£ e £$ 12 $£ è un divisore di £$ 24 $£. Allora anche £$ 3 $£ è divisore di £$ 24$£, infatti £$ 24 = 3 \cdot 8 $£.
Questo significa che la divisibilità è transitiva: se £$ a $£ è divisibile per £$ b $£ e £$ b $£ è divisibile per £$ c $£, allora anche £$ a $£ è divisibile per £$ c $£.
Seconda regola della divisibiltà
Seconda regola della divisibiltà
Se £$ a $£ è un divisore di £$ b $£ e di £$ c $£, allora è divisore anche della loro somma £$ b + c $£ e anche della loro differenza £$ b - c $£.
Esempio: £$ 3 $£ è un divisore di £$ 21 $£, ma è anche divisore di £$ 15 $£. Allora £$ 3 $£ è divisore della loro somma £$ 21 + 15 = 36 $£ (infatti £$ 36 = 3\cdot 12 $£) e della loro differenza £$ 21 - 15 = 6 $£ (infatti £$ 6 = 3 \cdot 2 $£).
