Prerequisiti per imparare numeri primi e numeri composti
Prerequisiti per imparare come riconoscere numeri primi e numeri composti:
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Numeri primi e numeri composti
Cosa sono i numeri primi? Impara a riconoscerli: sono i numeri che hanno solo due divisori. Ritrovali tutti nella tabella dei numeri primi fino a 1000.
Cosa sono i numeri composti?
Appunti
I numeri primi sono divisibili solo per 1 e per loro stessi: hanno soltanto due divisori.
Sono numeri molto importanti: sono i mattoncini che utilizziamo per costruire "edifici matematici" più complessi, come i problemi, le espressioni o anche solo i numeri più grandi.
Impara a riconoscere numeri primi e numeri composti.
PREREQUISITI
Ripassa la divisione, i divisori e i criteri di divisibilità per riconoscere subito i numeri composti.
Contenuti di questa lezione su: Numeri primi e numeri composti
A cosa servono i numeri primi
A cosa servono i numeri primi? Pensiamo al digitale terrestre, ai sistemi di pagamento elettronico, al biglietto aereo… In tutte queste cose interviene la crittografia, che significa “scrittura nascosta”.
La crittografia studia i metodi per rendere il significato di un messaggio incomprensibile a persone non autorizzate a leggerlo. I numeri primi permettono di "cifrare", cioè camuffare un messaggio e poi di decifrarlo, cioè di ritrovarne il significato nascosto!
Per questo continuiamo a scoprirne sempre di più grandi: più grandi sono, più sono misteriosi e incomprensibili!
È stato istituito un premio per chi riesce a scoprire un numero primo: 3000 dollari, ma si può arrivare fino a 50 mila se si scopre un numero primo con 100 milioni di cifre! Ti è venuta voglia di scoprire un numero primo?
Cosa sono?
Un semplice trucco per riconoscerli
Dividi in gruppi e trova i numeri composti
Un numero primo è un numero maggiore di 1 divisibile solo per 1 e per se stesso. Quindi un numero primo è un numero che ha esattamente due divisori.
- 2 è un numero primo: è divisibile solo per 1 e per 2;
- 5 è un numero primo: è divisibile solo per 1 e per 5;
- 17 è un numero primo: è divisibile solo per 1 e per 17;
- …
Ci sono infiniti numeri primi! Lo aveva dimostrato già Euclide nel suo libro Elementi, la più importante opera di matematica che conosciamo, scritto tra il IV e il III secolo a.C.. Ma non tutti i numeri sono primi. Abbiamo parlato di numeri con più divisori diversi oltre all’1 e a loro stessi.
I numeri composti sono quei numeri che hanno più di due divisori.
Esempio: il 6 è un numero composto perché ha come divisori 1 e 6, ma anche 2 e 3. In tutto ha quattro divisori!
I numeri primi sono il fondamento della matematica: il teorema fondamentale dell’aritmetica assicura che ogni numero naturale, o è primo, o si può scrivere come prodotto di numeri primi in modo unico. Quindi tra tutti gli infiniti numeri che conosciamo, possiamo riconoscere numeri primi e numeri che sono prodotto di primi!
Come riconoscere un numero primo?
Finché ci troviamo davanti numeri relativamente piccoli, non è difficile capire se si tratta di un numero primo o di un numero composto. Cosa succede se i numeri diventano più grandi? Come facciamo ad individuare i divisori di quel numero, o a capire che non ha nessun divisore?
Per individuare i numeri primi, è utile il crivello di Eratostene. È un antico procedimento per il calcolo dei numeri primi a partire dalla tavola dei numeri.
Possiamo individuare tutti i numeri primi procedendo per passi:
- evidenziamo il numero 2, poi cancelliamo tutti i suoi multipli.
- Facciamo lo stesso con il numero 3, il numero 5 e il numero 7.
- Ad ogni passo evidenziamo il più piccolo fra i numeri, è sicuramente un numero primo (se non lo fosse, sarebbe divisibile per numero primo più piccolo e quindi sarebbe stato cancellato in uno dei passi precedenti). Cancellando poi i suoi multipli più grandi, eliminiamo dall'elenco i numeri composti.
Altrimenti possiamo procedere per tentativi: dividiamo un numero per i primi 2, 3, 5, 7, …. Se troviamo un quoziente esatto, il nostro numero di partenza non è primo, altrimenti andiamo avanti e continuiamo a ricercare divisori tra tutti i numeri primi minori o uguali alla metà del nostro numero. Se non ne troviamo neanche uno che dà un quoziente esatto, abbiamo trovato un numero primo!
Tavola dei numeri primi da 1 a 1000
Scarica la tavola dei numeri primi da 1 a 1000: .
Curiosità sui numeri primi
Da questa lezione abbiamo imparato molto sui numeri primi… Ma qual è il “primo numero primo”?
Lo 0 è un numero primo? Abbiamo visto che lo 0 è multiplo di tutti i numeri. Qualsiasi numero moltiplicato per 0, dà come risultato ancora 0. Sicuramente 0 non è un numero primo.
Che cosa possiamo dire del numero 1? Anche l’1 non è un numero primo: un numero primo è divisibile per 1 e per se stesso, invece il numero 1 è divisibile solo per se stesso. Non ha due divisori come tutti i numeri primi, ma ne ha uno soltanto: quindi il numero 1 non è un numero primo. E non è neanche un numero composto, avendo un solo divisore: per esserlo, dovrebbe averne più di due!
Il primo numero primo è il 2.
Il 2 è anche l’unico numero primo pari. Tutti gli altri numeri primi sono dispari!
I numeri primi gemelli sono numeri primi consecutivi, cioè separati solo da un numero: per esempio 11 e 13 sono primi gemelli, ma anche 29 e 31, oppure 101 e 103. Nel libro “La solitudine dei numeri primi” si fa un accenno ai numeri primi gemelli: i due protagonisti hanno molte cose in comune, ma non riescono mai a trovarsi perché divisi da un ostacolo insormontabile, un po’ come due primi gemelli che arrivano ad essere molto vicini, ma non riescono mai a toccarsi perché c’è sempre un numero pari ad ostacolarli.
Il più grande numero primo conosciuto ha più di 22 milioni di cifre.
