Addizioni e sottrazioni: frazioni con lo stesso denominatore

Le addizioni e sottrazioni tra frazioni con lo stesso denomiatore sono le più semplici: basta sommare i numeratori.

Quindi sono come le addizioni e sottrazioni che abbiamo già imparato a fare con i numeri interi.

Appunti

Addizioni e sottrazioni con le frazioni sono impossibili? Non ti preoccupare, basta scoprire i trucchi e sarà semplice come sommare i numeri naturali.

Iniziamo a sommare le frazioni che hanno lo stesso denominatore: basterà calcolare la somma dei numeratori per trovare il risultato. Ricorda che le frazioni sono dei numeri!

PREREQUISITI

Ripassa addizioni e sottrazioni con i numeri naturali: dovremo preoccuparci solo dei numeratori se i denominatori sono uguali.

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per imparare a fare le operazioni tra frazioni con stesso denominatore

Prerequisiti per imparare a fare le operazioni tra frazioni con stesso denominatore: 

Somma di frazioni con lo stesso denominatore

Sappiamo già come fare la somma tra due frazioni con lo stesso denominatore, non dobbiamo imparare niente di nuovo. Se il denominatore delle due frazioni è uguale, basta sommare i due numeratori, il denominatore del risultato è sempre lo stesso.

Esempio: £$ \dfrac{8}{5} + \dfrac{3}{5} $£ hanno lo stesso denominatore £$ 5 $£, quindi la frazione somma è £$ \dfrac{8 + 3}{5} = \dfrac{11}{5} $£

Differenza di frazioni con lo stesso denominatore

La differenza tra due frazioni con lo stesso denominatore, funziona esattamente come l’addizione: il denominatore resta uguale e il numeratore è uguale alla differenza tra i due numeratori.

Esempio: £$ \dfrac{8}{5} - \dfrac{2}{5} $£ hanno lo stesso denominatore £$ 5 $£, quindi la frazione differenza è £$ \dfrac{8 - 2}{5} = \dfrac{6}{5} $£

Proprietà di addizioni e sottrazioni con le frazioni

Per l'addizione e la sottrazione tra frazioni valgolo le stesse proprietà dell'addizione e della sottrazione tra numeri naturali, cioè la proprietà commutativa e la proprietà associativa per la somma, la proprietà invariantiva per la differenza.

La proprietà commutativa: cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

Esempio: £$\dfrac{1}{5}+ \dfrac{7}{5}=\dfrac{7}{5}+\dfrac{1}{5}= \dfrac{8}{5}$£

Questa proprietà vale ancora perché per sommare due frazioni, prima facciamo il m.c.m tra i denominatori (e questo è sempre lo stesso, indipendentemente dall'ordine dei denominatori) poi sommiamo i numeratori, che sono numeri interi, per cui sappiamo già che vale la proprietà commutativa!

La proprietà associativa: sostituendo a due numeri la loro somma, il risultato non cambia.

Esempio: £$\dfrac{13}{12}+\dfrac{17}{12}+\dfrac{1}{12}= $£ £$ \left(\dfrac{13}{12}+\dfrac{17}{12} \right)+\dfrac{1}{12} = $£ £$ \dfrac{30}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{31}{12} $£

La proprietà associativa, anche nelle frazioni è molto utile quando viene applicata insieme alla commutativa.

La sottrazione tra frazioni gode solo della proprietà invariantiva, proprio come nei numeri naturali. La proprietà invariantiva dice che aggiungendo o togliendo la stessa quantità ad entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia.

Esempio: £$ \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} $£ £$ = \left( \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \right) - \left( \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} \right) $£ £$= \dfrac{6}{6} - \dfrac{3}{6} $£ £$ = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $£

Questa proprietà può essere molto utile nel calcolo a mente e per verificare velocemente i tuoi calcoli!