Addizioni e sottrazioni: frazioni con denominatore diverso

È possibile calcolare anche addizioni e sottrazioni tra frazioni con denominatore diverso?

Ripassa il m.c.m. e risolvi somme e differenze tra frazioni.

In questa lezione troverai anche tante espressioni con cui esercitarti per diventare un "mago" delle frazioni!

Appunti

È chiaro come risolvere addizioni e sottrazioni tra frazioni con lo stesso denominatore? Allora prova ad aumentare la difficoltà!

Per sommare o sottrarre le frazioni ricordati di ridurle al denominatore comune. Trova il minimo comune multiplo tra i denominatori: ora addizioni e sottrazioni tra frazioni diventeranno somme e differenze fra numeri interi!

Una volta portate tutte le frazioni allo stesso denominatore, basterà sommare o sottrarre i numeratori, come hai già imparato a fare con i numeri naturali.

PREREQUISITI

Ripassa moltiplicazioni e divisioni per calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori. Quello che facciamo è trovare la frazione equivalente, in modo da ritornare al caso di somme di frazioni con lo stesso denominatore.

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Prerequisiti per imparare a fare addizioni e sottrazioni tra frazioni con denominatore diverso

Prerequisiti per imparare a fare addizioni e sottrazioni tra frazioni con denominatore diverso:

Somma di frazioni con denominatore diverso

Per sommare frazioni con denominatore diverso, dobbiamo trovare il denominatore comune: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo le frazioni equivalenti. In questo modo troviamo due frazioni con lo stesso denominatore e possiamo sommare i numeratori!

La somma di frazioni con denominatore diverso è uguale a una frazione che ha per denominatore il m.c.m. tra i due denominatori e per numeratore la somma dei numeratori delle frazioni equivalenti.

Esempio: £$ \dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{5} $£ visto che £$ \text{m.c.m.}(2, 5) = 10 $£, le due frazioni equivalenti con denominatore uguale a £$ 10 $£ sono £$ \dfrac{3 \cdot (10 : 2)}{10} $£ e £$ \dfrac{9 \cdot (10 : 5)}{10} $£.

Allora dobbiamo calcolare la somma £$ \dfrac{15}{10} + \dfrac{18}{10} = \dfrac{15 + 18}{10} = \dfrac{33}{10} $£

Differenza di frazioni con denominatori diversi

Per sottrarre frazioni con denominatore diverso, dobbiamo trovare il denominatore comune, come abbiamo appena visto per calcolare la somma: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo le frazioni equivalenti

Aggiungiamo un trucco per poter saltare un passaggio: una volta trovato il minimo comune multiplo tra i due denominatori, possiamo tracciare una lunga linea di frazione inserendo il numero che abbiamo trovato come denominatore. Per trovare i numeratori, procediamo così:

  • dividiamo il minimo comune multiplo trovato per il denominatore della frazione iniziale;
  • moltiplichiamo il risultato di questa divisione per il numeratore della frazione iniziale;
  • scriviamo il risultato al numeratore;
  • procediamo nello stesso modo con la seconda frazione;
  • calcoliamo la differenza tra i due risultati ottenuti.

La differenza di frazioni con denominatore diverso è uguale a una frazione che ha per denominatore il m.c.m. tra i due denominatori e per numeratore la differenza dei numeratori delle frazioni equivalenti.

Esempio: £$ \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{15} $£ visto che £$ \text{m.c.m. }(9, 15) = 45 $£, la frazione differenza avrà denominatore uguale a £$ 15 $£. Calcoliamo i due numeri di cui calcolare la differenza:

  • dividiamo per il denominatore £$ 45 : 9 = 5 $£ quindi moltiplichiamo per il numeratore £$ 5 \cdot 4 = 20 $£;
  • facciamo lo stesso anche con la seconda frazione: £$ 45 : 15 = 3 $£ e moltiplichiamo £$ 3 \cdot 4 = 12 $£

£$ \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{15} = \dfrac{20 - 12}{45} = \dfrac{8}{45} $£ abbiamo trovato il risultato!

NB: Questo trucco funziona anche nella somma tra frazioni! 

Proprietà di addizioni e sottrazioni con le frazioni

Per l'addizione e la sottrazione tra frazioni valgolo le stesse proprietà dell'addizione e della sottrazione tra numeri naturali, cioè la proprietà commutativa e la proprietà associativa per la somma, la proprietà invariantiva per la differenza.

La proprietà commutativa: cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

Esempio: £$\dfrac{1}{2}+ \dfrac{7}{5}=\dfrac{7}{5}+\dfrac{1}{2}= \dfrac{19}{10}$£

Questa proprietà vale ancora perché per sommare due frazioni, prima facciamo il m.c.m tra i denominatori (e questo è sempre lo stesso, indipendentemente dall'ordine dei denominatori) poi sommiamo i numeratori, che sono numeri interi, per cui sappiamo già che vale la proprietà commutativa!

La proprietà associativa: sostituendo a due numeri la loro somma, il risultato non cambia.

Esempio: £$\dfrac{13}{12}+\dfrac{17}{12}+\dfrac{4}{3}= $£ £$ \left(\dfrac{13}{12}+\dfrac{17}{12} \right)+\dfrac{4}{3} = $£ £$ \dfrac{30}{12} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{46}{12} = \dfrac{23}{6} $£

La proprietà associativa, anche nelle frazioni è molto utile quando viene applicata insieme alla commutativa. Infatti data l'espressione £$\frac{13}{12}+\frac{4}{3}+\frac{17}{12}+\frac{2}{3}$£ conviene risolvere prima le addizioni con denominatore uguale. Puoi metterle vicine per la proprietà commutativa e sommarle a due a due con l'associativa: £$\frac{13}{12}+\frac{4}{3}+\frac{17}{12}+\frac{2}{3}=\frac{13}{12}+\frac{17}{12}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{13+17}{12}+\frac{4+2}{3}$£! Non è necessario ogni volta scrivere tutti i passaggi! L'importante è essere sicuri di poter fare questi calcoli grazie alle proprietà che ce li permettono!

La sottrazione tra frazioni gode solo della proprietà invariantiva, proprio come nei numeri naturali. La proprietà invariantiva dice che aggiungendo o togliendo la stessa quantità ad entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia.

Esempio: £$ \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} $£ £$ = \left( \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \right) - \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \right) $£ £$= \dfrac{6}{6} - \dfrac{3}{6} $£ £$ = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $£

Questa proprietà può essere molto utile nel calcolo a mente e per verificare velocemente i tuoi calcoli!