Moltiplicazione tra frazioni

Dopo addizione e sottrazione, è il momento di scoprire come si fanno le moltiplicazioni con le frazioni.

Impara a semplificare in croce e scopri come risolvere moltiplicazioni tra frazioni e numeri interi e moltiplicazioni tra frazioni.

Appunti

Quale operazione abbiamo imparato dopo l'addizione e la sottrazione? È il momento di imparare a risolvere anche la moltiplicazione tra frazioni.

Un trucco utile per calcolare un prodotto di frazioni consiste nel semplificare in croce e moltiplicare in riga: controlla se numeratore e denominatore delle frazioni che moltiplichi sono multipli, così da semplificare subito i calcoli.

PREREQUISITI 

Ripassa moltiplicazioni e divisioni tra numeri naturali: è importante ricordare anche multipli e divisori per poter semplificare le frazioni. Già che ci siamo, ripassa anche il Massimo Comun Divisore.

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Prerequisiti per imparare a calcolare moltiplicazione tra frazioni

Prerequisiti per imparare a calcolare moltiplicazione tra frazioni:

Prodotto di una frazione con un numero intero

Il prodotto tra una frazione e un numero intero equivale a prendere quella frazione tante volte quante ne dice il numero, come abbiamo già visto per i numeri interi. Come per i numeri interi, quindi, la moltiplicazione è un'addizione ripetuta.

Svolgendo i calcoli, ti accorgerai che non è necessario passare alla somma ogni volta: la moltiplicazione fra una frazione ed un numero intero è una nuova frazione che ha lo stesso denominatore di quella di partenza e ha per numeratore il prodotto tra il numero intero ed il numeratore della frazione.

Per esempio fare £$ 3 \cdot \dfrac{2}{7} $£ vuol dire prendere la frazione £$ \dfrac{2}{7} $£ per £$ 3 $£ volte, cioè sommarla £$ 3 $£ volte £$ \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} $£.

Il risultato di questa moltiplicazione è quindi £$ 3 \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \cdot 2}{7} = \dfrac{6}{7} $£

Prodotto di frazioni

Il prodotto tra due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto tra i due numeratori e per denominatore il prodotto tra i due denominatori. Si chiama anche prodotto in riga: quello che sta sopra con quello che sta sopra e quello che sta sotto con quello che sta sotto.

In questo modo però non si trova sempre una frazione ridotta ai minimi termini, dovrai semplificare per trovarla! Per evitare questo calcolo, prima di svolgere la moltiplicazione, fai attenzione! Controlla sempre se puoi semplificare in croce, in modo da rendere i calcoli più semplici.

Cosa significa semplificare in croce? Controlliamo se il numeratore del primo fattore e il denominatore del secondo fattore hanno divisori comuni, quindi semplifichiamo, cioè continuiamo a dividere entrambi i numeri per uno stesso divisore finché non saranno primi tra loro. Facciamo lo stesso con il denominatore del primo fattore e il numeratore del secondo fattore e poi calcoliamo il prodotto tra numeratori e denominatori.

Esempio: risolviamo il prodotto di frazioni £$ \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{25}{9} = \dfrac{75}{45} $£. Non è una frazione ridotta ai minimi termini: possiamo semplificare dividendo sopra e sotto per £$ 5 $£, quindi £$ \dfrac{15}{9} $£, poi possiamo semplificare ancora per £$ 3 $£ e troviamo £$ \dfrac{5}{3} $£

Ma sarebbe stato tutto più facile se avessimo semplificato in croce fin dall’inizio il £$ 3 $£ con il £$ 9 $£ e il £$ 5 $£ con il £$ 25 $£. In questo modo troviamo subito la frazione ridotta ai minimi termini: £$ \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{25}{9} = \dfrac{5}{3} $£

Per moltiplicare due frazioni, quindi, devi prima semplificare in croce e poi moltiplicare in riga!

Attenzione! Questa regola vale anche per il prodotto tra una frazione ed un numero intero. Infatti un numero intero può essere visto come una frazione con denominatore £$1$£! Per esempio £$2 \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1}= \dfrac{6}{7}$£

Proprietà della moltiplicazione tra frazioni

Per il prodotto di frazioni sono valide le stesse proprietà della moltiplicazione tra nuemri naturali. Le proprietà della moltiplicazione tra frazioni sono tre: la proprietà commutativa, la proprietà associativa e la proprietà distributiva.

La proprietà commutativa: cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia. Per risolvere la moltiplicazione semplifichiamo in croce e moltiplichiamo in riga: cambiare l'ordine dei fattori non influisce su questa regola!

Esempio: £$ \dfrac{7}{4} \cdot \dfrac{32}{21} = \dfrac{32}{21} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{8}{3}$£

La proprietà associativa: sostituendo a due fattori il loro prodotto, il risultato della moltiplicazione non cambia.

Esempio: £$ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{6}{4} = $£ £$ \left( \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{5} \right) \cdot \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{6}{4}= \dfrac{18}{20}$£
ma anche £$ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{6}{4} = $£ £$ \dfrac{3}{2} \cdot \left(\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{6}{4} \right) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{6}{10}= \dfrac{18}{20}$£

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma: moltiplicare una frazione per una somma di frazioni è uguale a moltiplicare la frazione per ogni addendo e poi sommare.

Esempio: £$\dfrac{2}{5} \cdot \left( \dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{32} \right)=$£ £$ \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{2} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{15}{32} = $£ £$ 1+\dfrac{3}{16}=\dfrac{19}{16}$£