Proprietà delle potenze di frazioni

Impara le proprietà delle potenze di frazioni. Anche per le potenze di frazioni valgono le stesse proprietà delle potenze dei numeri naturali.

Ripassa tutte le proprietà e impara ad applicarle nelle espressioni con potenze e frazioni.

Appunti

Le proprietà delle potenze di frazioni sono le stesse che abbiamo già imparato con i numeri naturali. Stavolta la base della potenza è una frazione: fai attenzione ad elevare a potenza sia il numeratore che il denominatore.

Scopri le proprietà delle potenze delle frazioni con la stessa base e le proprietà delle potenze delle frazioni con lo stesso esponente.

PREREQUISITI

Ripassa le proprietà delle potenze dei numeri naturali: sarà utile rinfrescare cosa sono le potenze e come funzionano, per poi riuscire a risolvere tutti i problemi con le frazioni. Tieni sempre in allenamento addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni tra frazioni: è il momento di risolvere le prime espressioni.

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Prerequisiti per imparare le proprietà delle potenze di frazioni

Proprietà delle potenze con la stessa base

Le proprietà delle potenze valgono anche per le potenze di frazioni. Ripassiamo le proprietà delle potenze con la stessa base.

Nelle potenze di frazioni, il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa frazione e come esponente la somma degli esponenti.

Esempio: £$ \left( \dfrac{2}{3} \right)^5 \cdot \dfrac{2}{3} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{5 + 1} = \left(\dfrac{2}{3} \right)^6 $£

Il quoziente di due potenze di frazioni con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa frazione, ma per esponente la differenza tra i due esponenti.

Esempio: £$ \left( \dfrac{2}{3} \right)^5 : \dfrac{2}{3} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{5 - 1} = \left(\dfrac{2}{3} \right)^4 $£

Attenzione! Ricordati sempre di scrivere le parentesi, altrimenti devi elevare solo il numeratore della frazione!

Proprietà delle potenze con lo stesso esponente

Per il prodotto ed il quoziente tra frazioni che sono elevate allo stesso esponente valgono ancora le proprietà delle potenze con lo stesso esponente.

Per calcolare la moltiplicazione tra due frazioni con lo stesso esponente, non dimenticare le proprietà delle potenze: il risultato del prodotto è una frazione che ha per base il prodotto tra le due basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempio: £$ \left( \dfrac{3}{5} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{4}{3} \right)^2 = \left(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{3} \right)^2 = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 $£

Per calcolare la divisione tra due frazioni con lo stesso esponente applichiamo di nuovo la stessa proprietà: il quoziente sarà una potenza che ha per base il quoziente tra le due basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempio: £$ \left( \dfrac{3}{5} \right)^2 : \left( \dfrac{4}{3} \right)^2 = $£ £$ \left(\dfrac{3}{5} : \dfrac{4}{3} \right)^2 =$£ £$ \left(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{4} \right)^2 $£ £$= \left(\dfrac{9}{20}\right)^2 $£

Potenza di potenza

Come calcoliamo la potenza di una potenza di frazioni? Non ti spaventare: basta moltiplicare i due esponenti.

La potenza di potenza che ha per base una frazione, è ancora una potenza che ha per base la stessa frazione e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempio: £$ \left[ \left( \dfrac 23 \right)^2 \right]^3 = \left( \dfrac 23 \right)^{2 \cdot 3} = \left( \dfrac 23 \right)^6 $£