Somma per differenza di polinomi: come si calcola

Il prodotto notevole della somma per differenza di polinomi rappresenta uno degli strumenti più eleganti e utili nell’ambito dell’algebra. Questa particolare forma di prodotto notevole si verifica quando moltiplichiamo due espressioni polinomiali che sono l’una la somma e l’altra la differenza degli stessi due termini. In termini più semplici, abbiamo due polinomi, uno che si presenta come £$a+b$£ e l’altro come £$a-b$£, dove a e b possono essere monomi, binomi o polinomi più complessi.

Il risultato di questa moltiplicazione è notevolmente semplificato rispetto a quanto ci si potrebbe aspettare dalla moltiplicazione standard di polinomi. Infatti, applicando la regola della somma per differenza, otteniamo come risultato la differenza dei quadrati di a e b, ovvero £$a^2-b^2$£. Questo significa che i termini misti, che normalmente emergerebbero dalla moltiplicazione di £$(a+b)*(a-b)$£, si annullano reciprocamente, lasciando una formula molto più semplice e gestibile.

Il bello di questo prodotto notevole è che fornisce una scorciatoia per calcolare il prodotto di due espressioni che potrebbero altrimenti richiedere calcoli più lunghi e complessi. Non solo, ma comprendere e utilizzare questo prodotto notevole può anche aiutare a riconoscere pattern e relazioni all’interno di espressioni algebriche più ampie, facilitando la risoluzione di equazioni e la semplificazione di espressioni.

Nell’articolo che segue, esploreremo in dettaglio come calcolare il prodotto notevole di somma per differenza di polinomi.

• Il trucco del prodotto notevole somma per differenza
• Esempi di prodotti notevoli: somma per differenza

Il trucco del prodotto notevole somma per differenza

Il primo prodotto notevole che vediamo è il prodotto della somma per la differenza tra due monomi.

$$ (a + b)(a – b) $$

Se svolgiamo tutti i passaggi come abbiamo già imparato a fare, otteniamo:

£$ a\cdot(a-b) + b\cdot(a-b) = \\ = a\cdot a + a\cdot(-b) + b\cdot a + b\cdot(-b) = \\ = a^2 -ab +ab-b^2 =$£

Sommiamo i monomi simili per trovare il polinomio ridotto a forma normale. I due monomi con parte letterale £$ ab $£ sono opposti, quindi il risultato è £$ a^2-b^2 $£.

Quando ti ritrovi davanti ad un prodotto del genere, somma per differenza tra due monomi, puoi evitare i passaggi e ricordare che:

$$ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $$

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Esempi di prodotti notevoli: somma per differenza

Esempi:

£$ (2x + 3y)(2x-3y) $£ è il prodotto della somma per la differenza tra i monomi £$ 2x $£ e £$ 3y $£.
Saltiamo i passaggi e troviamo il risultato £$ (2x)^2 – (3y)^2 = 4x^2 – 9y^2 $£;

Anche £$ (-2a+b)(2a+b) $£ è il prodotto di una somma per una differenza!
Osserva bene i segni dei monomi £$ 2a $£ e £$ b $£. Il segno di £$ b $£ non cambia, è sempre £$ + $£. Il segno di £$ 2a $£ invece cambia!
Possiamo riordinare i termini senza modificare il testo: £$ (b-2a)(b+2a) $£
Ora saltiamo i passaggi e troviamo il risultato: £$ (b)^2 – (2a)^2 = b^2-4a^2 $£