Prerequisiti per imparare a calcolare le potenze di numeri relativi
Prerequisiti per imparare a calcolare le potenze di numeri relativi:
Caricamento in corso...
Potenze di numeri relativi
Scopri le potenze di numeri relativi. Scopri i trucchi per capire il segno del risultato della potenza. E cosa succede se l’esponente è negativo?
Appunti
Le potenze sono moltiplicazioni ripetute. Anche se la base della potenza ha un segno, possiamo utilizzarle: valgono le stesse regole che abbiamo già imparato. Dobbiamo solo fare attenzione ai segni! Se la base è un numero negativo, dobbiamo controllare l’esponente: se è un numero pari il risultato è positivo, se è un numero dispari il risultato resta negativo.
Scopri come funzionano le potenze con esponente negativo! Per tornare all’esponente positivo che già conosci, basta… Ribaltare il numero!
PREREQUISITI
Ripassa le potenze e le loro proprietà. Dai un'occhiata anche alle potenze di numeri razionali.
Contenuti di questa lezione su: Potenze di numeri relativi
Potenze di numeri interi e razionali
Le potenze di numeri interi potrebbero trarre in inganno… ma basta conoscere un semplice trucchetto per calcolarle in quattro e quattr’otto.
Ricordiamo la definizione di potenza. Ad esempio, fare £$ (+5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ +5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.
£$ (+5)^2 =(+5)\cdot(+5)=+25$£
Nello stesso modo, fare £$ (-5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ -5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.
£$ (-5)^2 =(-5)\cdot(-5)=+5^2=+25$£
Il prodotto di due segni £$ - $£ è un segno £$ + $£! Il quadrato di £$ -5 $£ è il numero positivo £$ 25 $£.
E £$ (-2)^3 $£? £$ (-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -2^3 = -8$£
Il prodotto di tre segni £$ - $£ è un segno £$ - $£!
In generale, quando calcoliamo la potenza di un numero negativo:
- se l’esponente è pari, il risultato è positivo (segno £$ + $£);
- se l’esponente è dispari, il risultato è negativo (segno £$ - $£).
Anche per calcolare le potenze di frazioni con segno meno, puoi utilizzare la stessa regola!
Esempi:
£$ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = +\frac{4}{25} $£
£$ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} $£
Ricorda!
Qualsiasi numero elevato alla £$ 1 $£ dà come risultato il numero stesso: £$(-5)^1=-5$£
Qualsiasi numero diverso da £$ 0 $£ elevato alla £$ 0 $£ dà come risultato £$ 1 $£ indipendentemente dal segno: £$(-5)^0=1$£
Potenze con esponente negativo
E se l’esponente di una potenza fosse un numero intero negativo?
Che cosa vuol dire la scrittura £$ (+5)^{-2} $£?
La potenza con esponente intero negativo e con base intera è una frazione!
$$ (+5)^{-2} =+\frac{1}{5^2}=+\frac{1}{25}$$
Al numeratore scriviamo il numero £$ 1 $£ e al denominatore scriviamo la stessa potenza ma con esponente positivo.
Esempio: £$ (-3)^{-4} =+\frac{1}{(-3)^4}=+\frac{1}{81}$£
E che cosa succede se la potenza con esponente intero negativo ha come base una frazione?
Dobbiamo considerare la frazione reciproca, quella che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.
$$ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(-\frac{5}{2}\right)^3 = -\frac{125}{8} $$
Quindi, la potenza negativa di un numero è uguale alla potenza positiva del reciproco della base!
Proprietà delle potenze di numeri relativi
Inoltre valgono tutte le proprietà delle potenze che hai visto fino ad ora!
Prodotto di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} \cdot (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) + (-3)} = (-2)^{-1} $£
Divisione di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} : (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) - (-3)} = (-2)^{+5} $£
Prodotto di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} \cdot (+3)^{-3} = ((-2) \cdot (+3))^{-3} = (-6)^{-3} $£
Divisione di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} : (+3)^{-3} = ((-2) : (+3))^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} $£
Potenza di potenza
£$ \left[(-2)^{-3}\right]^{+2} = (-2)^{(-3) \cdot (+2)}=(-2)^{-6} $£
