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Come calcolare le potenze di numeri relativi

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

I numeri relativi e le potenze giocano un ruolo fondamentale nel mondo della matematica, ma spesso possono sembrare preoccupanti. Sia che si tratti di risolvere equazioni o di gestire complesse operazioni matematiche, la comprensione di come calcolare le potenze dei numeri relativi può fare una grande differenza.

In questo articolo, ci concentreremo su come calcolare le potenze dei numeri relativi e cercheremo di spiegare questo concetto in modo semplice e comprensibile, con tanti esempi pratici!

Cosa sono le potenze e i numeri relativi: ripasso

Prima di entrare nel dettaglio di come calcolare le potenze dei numeri relativi, è utile fare un rapido ripasso di cosa sono esattamente questi due elementi.

I numeri relativi includono sia i numeri positivi che i negativi, nonché lo zero. Sono chiamati ‘relativi’ perché il loro valore può essere determinato solo in relazione a un altro numero. Ad esempio, il numero -3 è inferiore a 0 e superiore a -4.

Le potenze, d’altra parte, sono un modo per esprimere il prodotto di un numero moltiplicato per se stesso un certo numero di volte. Il numero che viene moltiplicato è chiamato ‘base’, mentre il numero di volte che viene moltiplicato è chiamato ‘esponente’. Ad esempio, in £$2^3$£, 2 è la base e 3 è l’esponente, il che significa che 2 deve essere moltiplicato per se stesso 3 volte ($$2*2*2$$), dando come risultato 8.

Quando parliamo di calcolare le potenze dei numeri relativi, stiamo combinando questi due concetti. L’operazione diventa un po’ più complicata quando la base è un numero negativo e l’esponente è un numero dispari, rispetto a quando l’esponente è un numero pari. Questo perché una potenza di un numero negativo con esponente dispari dà come risultato un numero negativo, mentre una potenza di un numero negativo con esponente pari dà come risultato un numero positivo. Ad esempio, £$(-2)^3= -8$£ mentre £$(-2)^2 = 4$£.

Nell’articolo, esploreremo in dettaglio come gestire questi casi e altri aspetti delle potenze dei numeri relativi. Vediamoli insieme!

Potenze di numeri interi e razionali

Le potenze di numeri interi potrebbero trarre in inganno… ma basta conoscere un semplice trucchetto per calcolarle in quattro e quattr’otto.

Ricordiamo la definizione di potenza. Ad esempio, fare £$ (+5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ +5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.

£$ (+5)^2 =(+5)\cdot(+5)=+25$£

Nello stesso modo, fare £$ (-5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ -5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.

£$ (-5)^2 =(-5)\cdot(-5)=+5^2=+25$£

Il prodotto di due segni £$ – $£ è un segno £$ + $£! Il quadrato di £$ -5 $£ è il numero positivo £$ 25 $£.

E £$ (-2)^3 $£? £$ (-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -2^3 = -8$£

Il prodotto di tre segni £$ – $£ è un segno £$ – $£!

In generale, quando calcoliamo la potenza di un numero negativo:

  • se l’esponente è pari, il risultato è positivo (segno £$ + $£);
  • se l’esponente è dispari, il risultato è negativo (segno £$ – $£).

Le potenze di numeri relativi con le frazioni

Esempi:

£$ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = +\frac{4}{25} $£ £$ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} $£

Ricorda!
Qualsiasi numero elevato alla £$ 1 $£ dà come risultato il numero stesso: £$(-5)^1=-5$£
Qualsiasi numero diverso da £$ 0 $£ elevato alla £$ 0 $£ dà come risultato £$ 1 $£ indipendentemente dal segno: £$(-5)^0=1$£

Potenze con esponente negativo: come si calcolano

E se l’esponente di una potenza fosse un numero intero negativo?
Che cosa vuol dire la scrittura £$ (+5)^{-2} $£?

La potenza con esponente intero negativo e con base intera è una frazione!

$$ (+5)^{-2} =+\frac{1}{5^2}=+\frac{1}{25}$$

Al numeratore scriviamo il numero £$ 1 $£ e al denominatore scriviamo la stessa potenza ma con esponente positivo.

Esempio: £$ (-3)^{-4} =+\frac{1}{(-3)^4}=+\frac{1}{81}$£

E che cosa succede se la potenza con esponente intero negativo ha come base una frazione?
Dobbiamo considerare la frazione reciproca, quella che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.

$$ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(-\frac{5}{2}\right)^3 = -\frac{125}{8} $$

Quindi, la potenza negativa di un numero è uguale alla potenza positiva del reciproco della base!

Proprietà delle potenze di numeri relativi

Inoltre valgono tutte le proprietà delle potenze che hai visto fino ad ora!

Prodotto di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} \cdot (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) + (-3)} = (-2)^{-1} $£

Divisione di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} : (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) – (-3)} = (-2)^{+5} $£

Prodotto di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} \cdot (+3)^{-3} = ((-2) \cdot (+3))^{-3} = (-6)^{-3} $£

Divisione di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} : (+3)^{-3} = ((-2) : (+3))^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} $£

Potenza di potenza
£$ \left[(-2)^{-3}\right]^{+2} = (-2)^{(-3) \cdot (+2)}=(-2)^{-6} $£