L'insieme dei numeri naturali

Gli insiemi possono raccogliere gli elementi più diversi: oggetti, città, animali, cibi... ma anche numeri! 

Esistono infatti degli insiemi specifici: gli insiemi numerici. L'insieme £$ \mathbb{N} $£ è l'insieme che raccoglie tutti i numeri naturali.

Quali sono i numeri naturali? Sono tutti i numeri interi positivi che utilizziamo ogni giorno per contare, per scrivere la data, per leggere l'ora, per prendere il tram giusto...

Possiamo rappresentare l'insieme dei numeri naturali in diversi modi:

• per elencazione £$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ... \} $£;
• per caratteristica £$ \mathbb{N} = \{ x | x $£ è un numero naturale diverso da £$0 \} $£;
• graficamente attraverso un diagramma di Eulero-Venn.

Tra i numeri che conosciamo ce n'è uno un po' particolare: lo 0. È un numero naturale?

Il numero 0 è stato scoperto più tardi rispetto agli altri numeri. Il primo utilizzo dei numeri fu proprio per contare: a cosa serve contare zero cose?

Ecco che è stato introdotto un insieme particolare per indicare l'insieme dei numeri naturali che include il numero 0: £$ \mathbb{N}_0 $£.

Possiamo rappresentare questo insieme come abbiamo imparato a fare per l'insieme £$ \mathbb{N} $£:

• per elencazione £$ \mathbb{N}_0 = \{0,1,2,3, ... \} $£;
• per caratteristica £$ \mathbb{N}_0 = \{ x | x $£ è un numero naturale, compreso lo £$ 0 \} $£;
• graficamente attraverso un diagramma di Eulero-Venn.

Quanti sono i numeri naturali?
Cioè fino a quanto possiamo andare avanti a contare?

Prova a contare: 1, 2, 3, ... Possiamo andare avanti per sempre, fino all'infinito!
Prova a pensare ad un qualsiasi numero: questo appartiene all'insieme dei numeri naturali. E se aggiungiamo ancora uno? Anche questo sta nell'insieme dei numeri naturali.

Allora l'insieme £$ \mathbb{N} $£ dei numeri naturali è un insieme infinito.

Sappiamo dire dove si trova ciascun numero naturale?

Per esempio: dove si trova il 16? Precede il 17, ma segue il 15, cioè è compresto tra 15 e 17.
Riusciamo a trovare la giusta posizione per qualsiasi numero. Sappiamo dire il numero precedente e successivo di tutti gli infiniti numeri che sono nell'insieme £$ \mathbb{N} $£, sappiamo confrontare ciascun numero con un altro e stabilire quale dei due è il maggiore.

Allora l'insieme £$ \mathbb{N} $£ dei numeri naturali è un insieme ordinato.