Cos'è un rapporto e come calcolarlo

Un rapporto è una divisione, un quoziente tra due numeri.

Scopri come calcolare rapporti tra grandezze omogenee o non omogenee.

Appunti

Un rapporto è una divisione, un quoziente tra due numeri. I rapporti in matematica sono utili per confrontare dati, numeri e grandezze.

Sentiamo parlare di rapporto tra gol fatti e gol subiti in un campionato, rapporto tra peso e altezza, rapporto tra farina e zucchero nella preparazione di una torta.

Scopri quanto possono essere utili i rapporti nella vita di tutti i giorni!

PREREQUISITI

Visto che i rapporti indicano un quoziente, ripassa le divisioni e soprattutto le frazioni.

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Prerequisiti per imparare cos'è un rapporto

Prerequisiti per imparare cos'è un rapporto:

Cos'è un rapporto in matematica

Hai fatto £$2$£ esercizi su £$4$£. Hai fatto £$5$£ punti sui £$15$£ totali della partita.
Cosa significa? In ogni caso stai cercando di capire in quale rapporto sono due dati, due grandezze, due numeri. Cos'è il rapporto tra due grandezze? A cosa serve calcolare il rapporto? Dire che hai fatto £$2$£ esercizi su £$4$£ significa che ne hai fatti i £$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5=50%$£. Insomma, hai fatto la metà dei compiti! Hai trovato in che rapporto sono gli esercizi già svolti rispetto a quelli che devi ancora fare, e per farlo hai svolto una divisione.

Quindi in matematica un rapporto è un quoziente. È una divisione tra due numeri o tra due grandezze che possono essere dello stesso tipo o no.

I pitagorici dimostrarono che c'è un rapporto tra la musica e la matematica! Secondo loro, i toni di una scala musicale sono legati ai rapporti tra i numeri: premendo una corda sulla metà, suona l'ottava superiore; premendola ai suoi £$ \frac{3}{4} $£, suona la quarta superiore; premendola ai suoi £$ \frac{2}{3} $£, suona la quinta superiore, e così via.

Rapporti tra grandezze omogenee e non omogenee

In matematica un rapporto è un quoziente, cioè una divisione tra due grandezze che possono essere dello stesso tipo oppure no.

Le grandezze dello stesso tipo sono grandezze omogenee: sono quelle grandezze che, per esempio, si possono misurare con la stessa unità di misura, come il peso di un cane ed il peso di un gatto. Anche il numero di goal o di esercizi fatti sono due grandezze omogenee perché confrontano lo stesso tipo di dati. Il rapporto tra grandezze omogenee dà sempre un numero puro (cioè senza unità di misura) come risultato.

Esempio: In che rapporto sono un cane di £$9 \text{ kg}$£ ed un gatto di £$3 \text{ kg}$£? Calcoliamo £$\frac{9}{3} = \frac{3}{1} = 3$£, un numero puro. Il cane è esattamente il triplo del gatto!

Le grandezze di tipi diversi sono quelle non omogenee, cioè non si possono misurare con la stessa unità di misura: sono grandezze non omogenee il peso di un gatto e l’altezza di una giraffa, oppure i punti fatti nella partita di calcio e la lunghezza del campo. Il rapporto tra grandezze non omogenee non è più un numero puro, ma il risultato è una grandezza diversa dalle due di partenza.

Esempio: Una bici percorre £$25 \text{ km}$£ in £$5 \text{ h}$£. Il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato ci dice la velocità della bicicletta, cioè £$ \frac{25 \text{ km}}{5 \text{ h}} = 5 \text{ km/h}$£ (grandezza diversa dalle prime due).

L'antecedente e il conseguente

In matematica il rapporto tra due grandezze, e quindi tra due numeri, non è altro che il quoziente di quei numeri.
Sappiamo che anche le frazioni rappresentano un quoziente. Quindi possiamo scrivere un rapporto sotto forma di divisione oppure anche sotto forma di frazione.

Esempio: hai chiamato £$5$£ invitati alla festa sui £$6$£ totali. Il rapporto è: £$5 : 6 =\frac{5}{6}$£

Il primo termine, in questo caso il £$5$£, è detto antecedente (coincide con il dividendo, oppure con il numeratore), mentre il secondo termine del rapporto, in questo caso il £$6$£, è il conseguente (coincide con il divisore, quindi con il denominatore).

Proprietà dei rapporti

Se scambiamo l’antecedente con il conseguente, otteniamo il rapporto inverso o reciproco. È proprio come succedeva con le frazioni! Scambiando numeratore e denominatore si trova la frazione reciproca!

Esempio: l'inverso del rapporto £$ \frac 65 $£ è £$ \frac 56 $£

Per i rapporti, poiché non sono altro che divisioni, vale la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo entrambi i termini del rapporto per uno stesso numero, il valore del rapporto non cambia.

Esempio: nella prima giornata di campionato hai fatto £$12$£ goal sui £$18$£ totali, quindi ne hai fatto £$12:18=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$£. Alla seconda giornata i goal totali raddoppiano, ed anche quelli fatti da te. Quindi hai fatto £$24$£ su £$36$£, che sono £$24:36=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$£. Hai fatto sempre i £$\frac{2}{3}$£ dei goal!