Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
La matematica è spesso vista come una materia astratta, ma molti dei suoi concetti sono profondamente radicati nella vita di tutti i giorni. Uno di questi concetti è la proporzionalità, un principio che è alla base di molte situazioni quotidiane. In questo articolo, ci concentreremo sulla comprensione della proporzionalità diretta e inversa, spiegando cosa sono e come si calcolano.
Tutti i giorni calcoliamo delle proporzioni. E tutti i giorni ci troviamo a confrontare grandezze per vedere come varia una in funzione dell’altra. Impara a riconoscere la proporzionalità diretta e la proporzionalità inversa. Possiamo definire due grandezze in proporzione quando esiste una certa relazione tra di esse: possiamo scrivere una in funzione dell’altra e riconoscere qualche caratteristica che resta invariata e riconoscere una proporzionalità diretta o inversa.
Che si tratti di determinare come le quantità si influenzano a vicenda o di capire come i prezzi e la domanda sono collegati, la proporzionalità è un principio chiave nella matematica ma anche nella vita di tutti i giorni, perciò scopriamo insieme come fare!
- Le grandezze in matematica e la proporzionalità diretta e inversa
- La proporzionalità diretta: cos'è e come si riconosce
- La proporzionalità inversa: cos'è e come riconoscerla
Le grandezze in matematica e la proporzionalità diretta e inversa
Prima di andare avanti, è forse utile approfondire il significato dei concetti affinché siano chiari per tutti e non ci siano dubbi su quale potrebbe essere la base di partenza.
In matematica, una grandezza è una quantità che può essere misurata e confrontata con altre. Può essere lunghezza, peso, volume, tempo o qualsiasi altra misura che possa essere espressa numericamente. Le grandezze ci permettono di comprendere e quantificare il mondo intorno a noi.
La proporzionalità diretta si verifica quando due grandezze aumentano o diminuiscono insieme nello stesso rapporto. In altre parole, se una quantità raddoppia, anche l’altra raddoppierà. Ad esempio, se due chili di mele costano 4 euro, quattro chili costeranno 8 euro. Il rapporto è costante.
La proporzionalità inversa, o indiretta, si verifica quando una grandezza aumenta e l’altra diminuisce in un rapporto costante. È come se le due quantità fossero su un bilanciere: quando una sale, l’altra scende. Ad esempio, più persone ci sono a dividere un lavoro, meno tempo ci vorrà per completarlo.
Ma, adesso, tuffiamoci nel punto centrale del nostro articolo: la proporzionalità!
La proporzionalità diretta: cos’è e come si riconosce
Esercizio svolto
Esempio area rettangolo
Due grandezze sono direttamente proporzionali se all’aumentare o diminuire dell’una, aumenta o diminuisce anche l’altra in proporzione. Cioè se una grandezza dimezza, raddoppia, triplica, quadruplica, ecc., anche l’altra dimezza, raddoppia, triplica, quadruplica, ecc.
Parliamo di proporzionalità diretta tra le grandezze £$x$£ e £$y$£ quando il loro rapporto resta costante, cioè £$\frac{x}{y}=k$£, con £$k$£, numero naturale diverso da zero che chiamiamo coefficiente di proporzionalità diretta. £$x$£ e £$y$£ sono direttamente proporzionali se vale l’uguaglianza £$x=k \cdot y$£.
Esempio: l’area del rettangolo si trova con la formula £$A=b \cdot h$£, dove £$b$£ è la base e £$h$£ l’altezza. Se £$h=5 \text{ cm}$£, allora £$A=b \cdot 5$£, quindi possiamo dire che l’area e l’altezza di un rettangolo sono grandezze direttamente proporzionali! In questo caso la costante di proporzionalità è pari a £$5$£. Questo vale qualsiasi sia la base, quindi per tutti i rettangoli con altezza di lunghezza fissata, all’aumentare della base aumenta anche l’area.
La proporzionalità inversa: cos’è e come riconoscerla
Esercizio svolto
Esempio area rettangolo
Due grandezze sono inversamente proporzionali se all’aumentare di una, l’altra diminuisce in proporzione o, viceversa al diminuire di una, l’altra aumenta in proporzione. Quindi se una grandezza dimezza, raddoppia, triplica, quadruplica, ecc., l’altra raddoppia, diventa la metà, un terzo, un quarto, ecc.
Parliamo di proporzionalità inversa tra due grandezze £$x$£ e £$y$£ quando il loro prodotto resta costante, cioè £$x \cdot y=k$£, con £$k$£ coefficiente di proporzionalità inversa. £$x$£ e £$y$£ sono inversamente proporzionali se vale l’uguaglianza £$y= \frac{k}{x} $£.
Esempio: la formula per trovare l’area del rettangolo è £$A=b\cdot h$£. Se l’area è fissa e vale £$A= 48 \text{ cm}^2$£, la base £$b$£ e l’altezza £$h$£ sono inversamente proporzionali. Infatti il loro prodotto è costante ed è uguale a £$48$£ (coefficiente di proporzionalità inversa) e possiamo scrivere £$b \cdot h = 48$£.