Introduzione al concetto di insieme

In matematica, un insieme è una collezione di elementi che hanno una proprietà in comune. Questa caratteristica deve essere oggettiva, cioè deve essere valida per tutti, accettata da tutti.

• “Tutti i mammiferi” formano un insieme: hanno in comune la caratteristica di essere dei mammiferi
• “Tutti i bambini più simpatici di Piero” invece no: la simpatia è una caratteristica soggettiva, non oggettiva. Piero può essere più simpatico ad alcuni e meno simpatico ad altri.

Ogni volta che si parla di insiemi si pensa alla rappresentazione di Eulero-Venn, la più famosa. Sai che Eulero e Venn sono vissuti in due epoche diverse? Eulero parlava degli insiemi e della loro rappresentazione scrivendo tutto nelle lettere ad una principessa tedesca. Più tardi, Venn riprese i concetti scritti da Eulero e introdusse i simboli che ora usiamo nella teoria degli insiemi!

Esistono diversi modi per rappresentare un insieme:

• Rappresentazione grafica: con il diagramma di Eulero-Venn scriviamo tutti gli elementi di un insieme all’interno di una linea chiusa non intrecciata;
• Rappresentazione per elencazione (o tabulare): elenchiamo tutti gli elementi tra parentesi graffe, separati da una virgola.
  Esempio: la rappresentazione per elencazione dell'insieme £$ A $£ delle vocali è £$ A = \{a, e, i, o, u \} $£
• Rappresentazione per caratteristica: descriviamo la proprietà comune a tutti i gli elementi dell'insieme. Questo tipo di rappresentazione è comodo per gli insiemi più grandi.
  Esempio: £$ B = \{ x | x $£ è un capoluogo di provincia italiano£$ \} $£ che si legge: £$ B $£ è l’insieme di tutte le £$ x $£ tali che £$ x $£ è un capoluogo di provincia italiano.

Un elemento appartiene ad un insieme se rispetta la proprietà comune a tutti gli elementi. Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme utilizziamo il simbolo £$ \in $£.
Esempio:
Se £$ A = \{a, e, i, o, u \} $£ e £$ B = \{x | x $£ è un capoluogo di provincia italiano£$ \} $£, possiamo dire che £$ a \in A $£, che si legge £$a$£ appartiene all'insieme £$A$£, ma £$ a \notin B $£, cioè £$a$£ non appartiene all'insieme £$B$£, perché non è un capoluogo di provincia italiano.

Un insieme è vuoto se non contiene alcun elemento. Si indica con il simbolo £$ \emptyset $£.

Esempio: £$ B = \{x | x $£ è un pesce a £$ 6 $£ zampe£$ \} $£ è un insieme vuoto: non esistono pesci con £$ 6 $£ zampe!

L’insieme universo è l’insieme che contiene tutto! Cioè è l'insieme da cui ricaviamo l'insieme che vogliamo considerare!

Esempio: Se £$ A = \{x | x $£ è un pesce£$ \} $£ qual è l’insieme universo da cui lo abbiamo ritagliato? Può essere l'insieme £$ U = \{x | x $£ è un animale£$ \} $£ oppure l'insieme £$ U = \{x | x $£ è un animale che vive nell’acqua£$ \} $£.

L'insieme universo non contiene proprio tutto tutto, ma tutto quello che ci interessa in relazione all'insieme che stiamo analizzando. Utilizzando la rappresentazione caratteristica di un insieme, selezioniamo una parte degli elementi provenienti da un insieme più grande. L'insieme universo contiene l'insieme vuoto e se stesso!

Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi.

Esempio: £$ A = $£ {cane, gatto, topo} è uguale a £$ B = $£{topo, cane, gatto}. Anche se gli elementi sono in ordine diverso, sono gli stessi in entrambi gli insiemi.

Un insieme £$ A $£ è sottoinsieme di £$B $£ se tutti gli elementi di £$ A $£ sono anche elementi di £$ B $£. Indichiamo un sottoinsieme così: £$ A \subset B $£.

Esempio: £$ A = $£ {cane, gatto, topo} e £$ B = \{x | x $£ è un mammifero£$\} $£. Il cane, il gatto ed il topo sono mammiferi, quindi tutti gli elementi di £$ A $£ sono anche elementi di £$ B $£. Allora £$ A \subset B $£.

Consideriamo un insieme universo £$ U $£ e due insiemi £$ A $£ e £$ B $£. Diciamo che £$ A $£ e £$ B $£ sono insiemi complementari se £$ B $£ contiene tutti gli elementi di £$ U $£ che non appartengono ad £$ A $£ e scriviamo £$ B = A’ $£.

Esempio: £$ U = $£{cane, gatto, topo, mucca, pecora, asino}. Se £$A = $£{cane, gatto, topo}, allora £$ A’ = $£{mucca, pecora, asino}.