Gli insiemi in matematica: definizione e rappresentazione

Un insieme matematico è un concetto fondamentale che si riferisce a una collezione di oggetti distinti, considerati come un’entità unica. Questi oggetti, denominati elementi o membri dell’insieme, possono essere qualsiasi cosa: numeri, persone, lettere dell’alfabeto, o anche altri insiemi.

La bellezza degli insiemi sta nella loro generalità e semplicità. Non importa la natura degli elementi; ciò che conta è se un oggetto è un membro dell’insieme o no.

Gli insiemi sono tipicamente definiti in due modi:

1. Elencando gli elementi: ad esempio, l’insieme $A=\{2,4,6,8\}$ è l’insieme che contiene i numeri 2, 4, 6 e 8.
2. Descrivendo una proprietà che tutti gli elementi devono soddisfare: ad esempio, l’insieme $A=\{x\; è\; un\; numero\; positivo\; minore\; di\; 10\}:\; q$ui, A contiene tutti gli elementi x che soddisfano la condizione di essere numeri interi positivi minori di 10.

Gli insiemi possono essere finiti (come negli esempi che abbiamo citato prima) o infiniti (come l’insieme dei numeri naturali). Ci sono operazioni specifiche che possono essere eseguite sugli insiemi, come l’unione, l’intersezione, la differenza, e il complemento.

Scopriamo insieme le loro caratteristiche!

• Che cos'è un insieme?
• Come si rappresenta un insieme?
• Insieme vuoto e insieme universo
• Insiemi uguali, sottoinsiemi e insiemi complementari
• Tipologie di sottoinsiemi
• Esercitati su insiemi e sottoinsiemi

Che cos’è un insieme?

In matematica, un insieme è una collezione di elementi che hanno una proprietà in comune. Questa caratteristica deve essere oggettiva, cioè deve essere valida per tutti, accettata da tutti.

Esempi:

• "Tutti i mammiferi" formano un insieme: hanno in comune la caratteristica di essere dei mammiferi
• "Tutti i bambini più simpatici di Piero" invece no: la simpatia è una caratteristica soggettiva, non oggettiva. Piero può essere più simpatico ad alcuni e meno simpatico ad altri.

Ogni volta che si parla di insiemi si pensa alla rappresentazione di Eulero-Venn, la più famosa. Sai che Eulero e Venn sono vissuti in due epoche diverse? Eulero parlava degli insiemi e della loro rappresentazione scrivendo tutto nelle lettere ad una principessa tedesca. Più tardi, Venn riprese i concetti scritti da Eulero e introdusse i simboli che ora usiamo nella teoria degli insiemi!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Come si rappresenta un insieme?

Esistono diversi modi per rappresentare un insieme:

• Rappresentazione grafica: con il diagramma di Eulero-Venn scriviamo tutti gli elementi di un insieme all’interno di una linea chiusa non intrecciata;
• Rappresentazione per elencazione (o tabulare): elenchiamo tutti gli elementi tra parentesi graffe, separati da una virgola.
  Esempio: la rappresentazione per elencazione dell’insieme £$ A $£ delle vocali è £$ A = \{a, e, i, o, u \} $£
• Rappresentazione per caratteristica: descriviamo la proprietà comune a tutti i gli elementi dell’insieme. Questo tipo di rappresentazione è comodo per gli insiemi più grandi.
  Esempio: £$ B = \{ x | x $£ è un capoluogo di provincia italiano£$ \} $£ che si legge: £$ B $£ è l’insieme di tutte le £$ x $£ tali che £$ x $£ è un capoluogo di provincia italiano.

Un elemento appartiene ad un insieme se rispetta la proprietà comune a tutti gli elementi. Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme utilizziamo il simbolo £$ \in $£.
Esempio:
Se £$ A = \{a, e, i, o, u \} $£ e £$ B = \{x | x $£ è un capoluogo di provincia italiano£$ \} $£, possiamo dire che £$ a \in A $£, che si legge £$a$£ appartiene all’insieme £$A$£, ma £$ a \notin B $£, cioè £$a$£ non appartiene all’insieme £$B$£, perché non è un capoluogo di provincia italiano.

Insieme vuoto e insieme universo

Un insieme è vuoto se non contiene alcun elemento. Si indica con il simbolo £$ \emptyset $£ (o anche {}).

Esempio: £$ B = \{x | x $£ è un pesce a £$ 6 $£ zampe£$ \} $£ è un insieme vuoto: non esistono pesci con £$ 6 $£ zampe!

L’insieme universo è l’insieme che contiene tutto! Cioè è l’insieme da cui ricaviamo l’insieme che vogliamo considerare!

Esempio: Se £$ A = \{x | x $£ è un pesce[iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]
\} [/iol_placeholder] qual è l’insieme universo da cui lo abbiamo ritagliato? Può essere
l’insieme £$ U = \{x | x $£ è un animale£$ \} $£ oppure l’insieme [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] U =
\{x | x [/iol_placeholder] è un animale che vive nell’acqua£$ \} $£.

L’insieme universo non contiene proprio tutto tutto, ma tutto quello che ci interessa in relazione all’insieme che stiamo analizzando. Utilizzando la rappresentazione caratteristica di un insieme, selezioniamo una parte degli elementi provenienti da un insieme più grande.
L’insieme universo contiene l’insieme vuoto e se stesso!

Insiemi uguali, sottoinsiemi e insiemi complementari

Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi, ovvero se ogni elemento di uno appartiene anche all’altro e viceversa (principio di equiestensione).

Esempio: £$ A = $£ {cane, gatto, topo} è uguale a £$ B = $£{topo, cane, gatto}. Anche se gli elementi sono in ordine diverso, sono gli stessi in entrambi gli insiemi.

Un insieme £$ A $£ è sottoinsieme di £$B $£ se tutti gli elementi di £$ A $£ sono anche elementi di £$ B $£. Indichiamo un sottoinsieme così: £$ A \subset B $£.

Esempio: £$ A = $£ {cane, gatto, topo} e £$ B = \{x | x $£ è un mammifero£$\} $£. Il cane, il gatto ed il topo sono mammiferi, quindi tutti gli elementi di £$ A $£ sono anche elementi di £$ B $£. Allora £$ A \subset B $£.

Consideriamo un insieme universo £$ U $£ e due insiemi £$ A $£ e £$ B $£. Diciamo che £$ A $£ e £$ B $£ sono insiemi complementari se £$ B $£ contiene tutti gli elementi di £$ U $£ che non appartengono ad £$ A $£ e scriviamo £$ B = A’ $£.

Esempio: £$ U = $£{cane, gatto, topo, mucca, pecora, asino}. Se £$A = $£{cane, gatto, topo}, allora £$ A’ = $£{mucca, pecora, asino}.

Tipologie di sottoinsiemi

Presi due insiemi £$A$£ e £$B$£, £$B$£ è sottoinsieme di £$A$£ solo se ogni elemento di £$B$£ è contenuto in £$A$£.

I sottoinsiemi possono essere:

• Sottoinsieme improprio: tutti gli elementi di £$A$£ appartengono anche a £$B$£ (£$B$£ coincide con £$A$£). Ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso o insieme vuoto.
• Sottoinsieme proprio: se almeno un elemento di £$A$£ non è compreso nell’insieme £$B$£ (£$B$£ è una parte dell’insieme £$A$£).

Insieme delle parti: è l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di £$A$£ e comprende sempre l’insieme vuoto e l’insieme £$A$£ stesso.
Se £$A$£ ha cardinalità £$n$£, la cardinalità dell’insieme delle parti di £$A$£ è £$2^n$£.

Esercitati su insiemi e sottoinsiemi

Hai capito la differenza tra insieme vuoto e insieme universo? Sai cos’è un sottoinsieme? Se la risposta è affermativa, prova a rispondere alle domande dell’interrogazione!

Sfida sui sottoinsiemi

Sfida:

Soluzione:

Valentino Rossi, la Ducati e i sottoinsiemi? Ti sei incuriosito? Allora leggi e prova a risolvere la sfida! Vuoi altri esercizi? Passa ai tre livelli!