Operazioni con gli insiemi: unione e intersezione

Le operazioni con gli insiemi sono l'unione e l'intersezione.

L'unione di due insiemi è un insieme a cui appartengono gli elementi di uno o dell'altro insieme. L'intersezione di due insiemi è un nuovo insieme che contiene gli elementi che hanno in comune i due insiemi iniziali.

Un insieme è una collezione di elementi di qualsiasi tipo.
Abbiamo visto cosa significa che un elemento appartiene o non appartiene ad un insieme, qual è la definizione di insieme universo e insieme vuoto.

E se abbiamo due insiemi, cosa possiamo fare? Ogni insieme sarà formato da elementi che hanno una proprietà comune. Possiamo confrontare gli elementi di questi insiemi e fare delle operazioni, proprio come con i numeri!
Le operazioni tra insiemi sono l'unione e l'intersezione.

Attenzione! Unire due insiemi non significa sommare i loro elementi, e fare l'intersezione non significa moltiplicarli!

L'unione tra due insiemi è un nuovo insieme che contiene tutti gli elementi degli insiemi iniziali, ovviamente senza ripetizioni. Si dice quindi che l'insieme unione contiene gli elementi del primo o del secondo insieme di cui facciamo l'unione.

L'intersezione invece è un nuovo insieme formato dagli elementi comuni ai due insiemi che intersechiamo.

In questa lezione trovi video ed esempi svolti per prendere confidenza con il concetto di unione e intersezione tra insiemi. Puoi anche esercitarti con gli esercizi dei tre livelli: ognuno è spiegato così puoi verificare la correttezza delle tue risposte e ripassare la teoria sulle operazioni con gli insiemi.

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Prerequisiti per imparare le operazioni con gli insiemi

Prerequisiti per imparare le operazioni con gli insiemi:

Come si fanno le operazioni tra gli insiemi?

Abbiamo ripassato tutte le operazioni con i numeri e con le frazioni. Ora possiamo chiederci: si possono fare le operazioni con gli insiemi? Sono uguali alle operazioni tra numeri?

È possibile svolgere le operazioni con gli insiemi! Gli insiemi non sono oggetti fissi, ma puoi aggiungere o togliere elementi, far "interagire" due o più insiemi... Le operazioni con gli insiemi non sono più addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, ma si chiamano unione e intersezione.

Unione di insiemi

L’unione di due (o più) insiemi è l’insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono ai due insiemi. L’unione dei due insiemi £$ A $£ e £$ B $£ si indica £$ A \cup B $£ e contiene quindi gli elementi che appartengono all’insieme £$ A $£ oppure all’insieme £$ B $£, cioè appartengono almeno ad uno dei due insiemi: £$ A \cup B = \{x | x \in A \text{ oppure } x \in B \} $£.

Esempio: £$ A = \{x | x $£ è un crostaceo£$ \} $£ e £$ B = \{x | x $£ è un mollusco£$\}$£. L’insieme £$ A \cup B = \{x | x $£ è un crostaceo o è un mollusco£$\}$£.

Esempio: se £$C= \{ $£a, b, c, d, e, f, g£$ \} $£ e £$D=\{ $£e, f, g, h, i, l£$ \} $£ allora £$C \cup D= \{ $£a, b, c, d, e, f, g, h, i, l£$ \}$£

Attenzione! Se £$ A \subset B $£, allora £$ A \cup B = B $£.

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Intersezione di insiemi

L’intersezione di due insiemi è l’insieme degli elementi che appartengono sia ad un insieme che all’altro. L’intersezione dei due insiemi £$ A $£ e £$ B $£ si indica £$ A \cap B $£ e contiene gli elementi comuni all’insieme £$ A $£ e all’insieme £$ B $£, cioè che appartengono ad entrambi gli insiemi: £$ A \cap B = \{x | x \in A \text{ e } x \in B\} $£ £$= \{x | x \in A, x \in B\} $£

Esempio: £$ A = \{x | x $£ è una città del Piemonte £$\}$£ e £$ B = \{x | x $£ è un capoluogo di regione£$ \} $£. L’insieme £$ A \cap B = $£ {Torino} contiene Torino perché è il capoluogo del Piemonte e quindi una città del Piemonte.

Attenzione! Se £$ A \subset B $£, allora £$ A \cap B = A $£.

Due insiemi sono disgiunti se la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto.

Esempio: £$ A = \{x | x $£ è una città del Piemonte £$\}$£ e £$ C = \{x | x $£ è una città della Lombardia£$ \} $£. L’insieme intersezione è vuoto perché una città non può essere contemporaneamente in Piemonte e in Lombardia: £$ A \cap C = \varnothing $£. £$ A $£ e £$ C $£ sono disgiunti.

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Esercizi svolti Operazioni con gli insiemi

Ecco gli esercizi su Operazioni con gli insiemi in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Insiemi. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Operazioni con gli insiemi - 1

L'intersezione e l'unione di due insiemi sono due operazioni tra insiemi. Risolvi gli esercizi del primo livello per capire bene come funziona l'unione e l'intersezione. Leggi le spiegazioni per ripassare la teoria!

Esercizi Operazioni con gli insiemi - 2

Due insiemi si possono unire o intersecare. Il risultato di queste operazioni tra insiemi è un nuovo insieme. Con questi esercizi ti guidiamo nello studio dell'unione e intersezione tra insiemi!

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Gli insiemi possono essere più o meno facili da visualizzare. Prendiamo alcuni esempi difficili e facciamo gli esercizi sull'unione e l'intersezione di questi insiemi. Leggi le spiegazioni e le operazioni tra insiemi non avranno più segreti!

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