Il prodotto cartesiano: cos'è e quali sono le sue proprietà

Quando ci avviciniamo al mondo della matematica e, in particolare, alla teoria degli insiemi, una delle operazioni fondamentali che incontriamo è il “prodotto cartesiano“. Questo nome, che può sembrare enigmatico a prima vista, ha le sue radici storiche: è un tributo a René Descartes, il matematico e filosofo francese noto per la sua rivoluzionaria introduzione del sistema di coordinate cartesiane in geometria.

Ma cosa è esattamente il prodotto cartesiano? In termini semplici, è un metodo per combinare due insiemi, generando tutte le possibili coppie ordinate degli elementi di questi insiemi. Prendiamo, ad esempio, un insieme di numeri {1, 2} e un insieme di lettere {a, b}. Il prodotto cartesiano di questi due insiemi ci dà {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}, rappresentando tutte le combinazioni possibili tra i numeri e le lettere.

In questo articolo, esploreremo in dettaglio la definizione del prodotto cartesiano, le sue applicazioni in diverse aree della matematica e le sue proprietà essenziali. Pronti? Cominciamo!

• Il prodotto cartesiano: cos'è e quando lo usiamo
• Come rappresentare il prodotto cartesiano
• Proprietà del prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano: cos’è e quando lo usiamo

Abbiamo imparato come fare unione e intersezione tra due insiemi. Ma esiste un’altra operazione. Come per i numeri, possiamo fare anche la moltiplicazione tra insiemi attraverso il prodotto cartesiano.

Indichiamo questa operazione con un simbolo che ricorda molto quello che utilizziamo per la moltiplicazione tra numeri: £$ \times $£.

Prendiamo due insiemi £$ A $£ e £$ B $£.

Il prodotto cartesiano è l’insieme di tutte le coppie £$ (a; b) $£ con £$ a \in A $£ e £$ b \in B $£. L’insieme di queste coppie è l’insieme £$ A \times B $£ e contiene un numero di elementi pari al prodotto del numero di elementi di £$ A $£ per il numero di elementi di £$ B$£.

Diciamo che la cardinalità – la cardinalità è il numero di elementi di un insieme – dell’insieme prodotto cartesiano è uguale al prodotto delle cardinalità dei due insiemi di partenza.

Esempio:

£$ A = \{ 1,2,3 \} $£ e £$ B = \{2,3 \} $£. Allora il prodotto cartesiano è l’insieme

$$ A \times B = \{ (1;2), (1; 3), (2;2), (2;3), (3; 2), (3;3) \} $$

Questo insieme contiene 6 elementi, che è proprio uguale al prodotto dei 3 elementi di £$ A $£ per i 2 elementi di £$ B $£.

Gli elementi del prodotto cartesiano sono coppie ordinate. È importante l’ordine degli elementi nella coppia: infatti £$ (2; 3) \ne (3; 2) $£. Dobbiamo inserire entrambe le coppie nell’insieme prodotto, una non esclude l’altra: coppie diverse forniscono informazioni diverse.

Nell’immagine vediamo il prodotto cartesiano tra due insiemi, uno che contiene dei primi piatti e uno che contiene dei secondi piatti. Si capisce bene che il prodotto cartesiano è l’insieme di tutti i possibili menu che possiamo scegliere componendo le diverse pietanze. Ogni volta che esci a pranzo, fai un prodotto cartesiano. Incredibile, vero?

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Come rappresentare il prodotto cartesiano

Tabella a doppia entrata

Esistono diversi modi per rappresentare questa operazione tra insiemi. Corrispondono in parte a quelli che abbiamo già visto per gli insiemi e nell’esempio del primo post:

• rappresentazione con un diagramma a frecce: il prodotto cartesiano è rappresentato dalle frecce che collegano ciascun elemento del primo insieme a ciascun elemento del secondo insieme;
• rappresentazione per elencazione: elenchiamo tutte le coppie che si formano con il prodotto cartesiano;
• rappresentazione per caratteristica: per definizione, l’insieme £$ A \times B $£ è l’insieme delle coppie di elementi tali che il primo appartiene all’insieme £$ A $£ e il secondo appartiene all’insieme £$ B $£, cioè, scritto in linguaggio matematico, $$ A \times B = \{ (a; b) | a \in A, b \in B \} $$

Qual è la novità quindi? Esistono altri modi più intuitivi per rappresentare questa operazione:

• la tabella a doppia entrata: costruiamo una tabella in cui inseriamo gli elementi dei due insiemi e quindi le coppie che si formano con il prodotto cartesiano;
• il diagramma cartesiano: sicuramente il termine cartesiano ti fa tornare in mente il piano cartesiano. Infatti è proprio quello che utilizziamo per questa rappresentazione: posizioniamo sull’asse delle £$ x $£ gli elementi del primo insieme e sull’asse delle £$ y $£ quelli del secondo insieme. Il prodotto cartesiano individua dei punti sul piano cartesiano: possiamo infatti vedere le coppie di elementi come le coordinate dei punti sul piano. Ecco l’importanza dell’ordine degli elementi nelle coppie: il punto £$ (2;3) $£ è diverso dal punto £$ (3; 2) $£.

Osserva nelle immagini i differenti modi per rappresentare il prodotto cartesiano tra gli insiemi £$ A = \{ 1,2,3,4 \} $£ e £$ B = \{5, 6 \} $£.

Proprietà del prodotto cartesiano

Il prodotto tra insiemi è un’operazione simile al prodotto tra numeri. Vediamo alcuni casi particolari.

Cosa succede se dobbiamo trovare il prodotto cartesiano tra un insieme e se stesso? Consideriamo l’insieme £$ A = \{ a, b \} $£ e cerchiamo l‘insieme £$ A \times A $£: funziona esattamente come con i numeri! Stiamo calcolando il quadrato di un insieme. Infatti:

$$ A \times A = A^2 = \{ (a;a), (a;b), (b;a), (b;b) \} $$

Che insieme è il prodotto cartesiano tra un insieme £$ A = \{a,b \} $£ e l’insieme vuoto £$ \varnothing $£? Anche in questo caso funziona come per i numeri. Il risultato di questo prodotto è analogo al risultato del prodotto di un numero per £$ 0 $£, cioè è uguale allo zero degli insiemi.

$$ A \times \varnothing = \varnothing $$

Per il prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa: infatti le coppie che si formano con il prodotto cartesiano, sono coppie ordinate di elementi. Invertendo l’ordine dei due insiemi, abbiamo delle coppie diverse.

$$ A \times B \ne B \times A $$

Valgono poi delle altre proprietà particolari, riconducibili alla proprietà distributiva che abbiamo studiato per i numeri. Le vediamo velocemente:

• £$ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) $£
• analogamente £$ ( A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C) $£
• £$ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) $£
• analogamente £$ ( A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C) $£