Operazioni con i monomi

Abbiamo studiato le quattro operazioni con i numeri naturali, con le frazioni, con i numeri interi… Ma si possono fare anche con i monomi? Scopri come calcolare l’addizione e la sottrazione di monomi. La moltiplicazione tra monomi è sempre possibile, ma, come al solito, fai attenzione alla divisione di monomi!

I monomi sono espressioni letterali formate da un coefficiente numerico e una parte letterale. Ma abbiamo visto che anche i numeri sono monomi! Ma allora possiamo svolgere le operazioni che conosciamo anche con i monomi!

Prima di calcolare l’addizione o la sottrazione tra due monomi, dobbiamo controllare che siano simili. Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale. In questo caso possiamo sommarli (o sottrarli) semplicemente sommando (o sottraendo) i loro coefficienti numerici.

La moltiplicazione tra due monomi è sempre possibile: svolgiamo il prodotto tra i coefficienti numerici e utilizziamo le proprietà delle potenze per calcolare il prodotto tra le lettere della parte letterale.

Per fare la divisione tra monomi, dobbiamo prima controllare che siano divisibili! Due monomi non sono divisibili quando il grado del dividendo rispetto ad una lettera è minore di quello del divisore rispetto alla stessa lettera. Controlla sempre tutte le lettere e tutti gli esponenti prima di svolgere una divisione tra monomi!

Guarda gli esempi svolti. Impara ad assemblare i giusti pezzi per trovare il risultato!

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La somma algebrica tra monomi

Come si fa la somma algebrica tra due monomi?

Se in un cestino di frutta metti £$ 2 $£ arance (£$ 2a $£) e poi ancora £$ 4 $£ arance (£$ 4a $£), alla fine avrai £$ 6 $£ arance:

£$ 2a + 4a = (2+4)a = 6a $£

Se nel cestino invece metti £$ 2 $£ arance (£$ 2a $£) e £$ 4 $£ banane (£$ 4b $£) alla fine avrai… £$ 2 $£ arance e £$ 4 $£ banane!

£$ 2a + 4b $£ ... rimane £$ 2a + 4b $£

Se due monomi sono simili, cioè hanno la stessa parte letterale, allora il risultato della loro somma algebrica sarà un monomio che ha:

  • come coefficiente numerico, la somma dei coefficienti
  • come parte letterale, la stessa parte letterale degli addendi

£$ 2a + 4a = (2+4)a = 6a $£

Se i due monomi simili sono anche opposti allora il risultato dell’addizione è £$0$£.

£$ -5a + 5a = (-5 + 5)a =0a =0 $£

Se i due monomi non sono simili, non puoi “calcolare” la somma! Facendo la somma tra monomi non simili, troviamo un oggetto più complesso che si chiama polinomio.

£$ 2a + 4b $£ è un polinomio!

Lo vedremo nella prossima lezione... intanto guarda gli esempi svolti nel video!

L'elevamento a potenza di monomi

Per calcolare la potenza di un monomio, ripassiamo bene le proprietà delle potenze!

In particolare la potenza di potenza, cioè quella proprietà che dice:

£$ (2^3)^4 = 2^{3\cdot4}=2^{12}$£

Questa proprietà vale anche per le lettere che formano la parte letterale di un monomio:

£$ (a^5)^2 = a^{5\cdot2} = a^{10}$£

Allora, per calcolare la potenza di un monomio occorre:

  • elevare a potenza il coefficiente numerico
  • elevare a potenza ciascuna lettera che forma la parte letterale

Guarda gli esempi svolti nel video!

La moltiplicazione tra monomi

La moltiplicazione tra monomi si può sempre calcolare!

Per farlo dobbiamo:

  • moltiplicare tra loro i coefficienti numerici
  • moltiplicare tra loro le lettere che formano la parte letterale

Anche per le moltiplicazioni ripassiamo bene le proprietà delle potenze, in particolare il prodotto di due potenze con la stessa base, cioè la proprietà che dice:

£$ 3^4\cdot3^3 = 3^{3+4}=3^7 $£

Questa proprietà vale anche per le lettere:

£$ x^2\cdot x^6 = x^{2+6} =x^8 $£

Guarda gli esempi svolti nel video!

La divisione tra monomi

Per calcolare le divisioni tra polinomi ripassiamo bene la proprietà delle potenze del quoziente tra potenze con la stessa base, cioè la proprietà che dice:

£$ 5^7 : 5^2 = 5^{7-2}=5^5 $£

Questa proprietà vale anche per le lettere:

£$ t^4 : t = t^{4-1} =t^3 $£

Per fare una divisione tra monomi dobbiamo:

  • dividere tra loro i coefficienti numerici
  • dividere tra loro le lettere che formano la parte letterale

£$ a^3b^2 : 3 ab^2 = (1:3)a^{3-1}b^{2-2}= \frac{1}{3} a^2b^0=\frac{1}{3}a^2$£

Attenzione! Due monomi non sono sempre divisibili…

Proviamo a fare queste divisioni:

  • £$ -6a^2 : 3a^3 = \frac{-6}{3}a^{2-3}=-2a^{-1}$£. Il risultato ha esponente negativo;
  • £$ 3ab : 2c = \frac{3}{2} abc^{-1}$£, anche in questo caso l’esponente è negativo.

Questi non sono monomi!

Quando devi calcolare una divisione tra monomi, osserva bene la parte letterale del primo e del secondo monomio.

  • Nel secondo monomio ci sono delle lettere che non sono nel primo monomio?
  • Nel secondo monomio l’esponente di una lettera è più grande dell’esponente della stessa lettera nel primo monomio?

Se hai risposto sì almeno a una di queste domande, allora i due monomi non sono divisibili.

Guarda altri esempi svolti nel video!

Esercizi svolti operazioni con i monomi

Ecco gli esercizi sulle operazioni con i monomi in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Monomi e polinomi. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Algebra!

ESERCIZI OPERAZIONI CON I MONOMI - 1

Anche con i monomi possiamo fare le operazioni che conosciamo, come con i numeri! Impara a fare addizioni e sottrazioni tra monomi, ma ricorda che puoi sommare solo i monomi simili.

ESERCIZI OPERAZIONI CON I MONOMI - 2

Svolgi le operazioni con i monomi. Fai attenzione: due monomi possono non essere divisibili! Esercitati con somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni tra monomi.

ESERCIZI OPERAZIONI CON I MONOMI - 3

Risolvi le espressioni con i monomi. Fai attenzione! L'ordine delle operazioni che hai imparato per i numeri, vale anche per i monomi. Allenati e risolvere le espressioni letterali sarà una passeggiata!

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