Il grado e il valore dei polinomi
Un polinomio è, in termini semplici, una combinazione di monomi che possono comprendere costanti, variabili e coefficienti, uniti tra loro attraverso operazioni di addizione o sottrazione. Queste espressioni algebriche possono essere semplici, come £$2x+3$£, o molto più complesse, con numerosi termini e variabili.
Il “grado” di un polinomio ci fornisce una visione immediata della sua “complessità”. Indica il più alto esponente della variabile presente nel polinomio e ci aiuta a comprendere la sua struttura e il suo comportamento, specialmente quando si tratta di graficare o di risolvere equazioni. Il “valore” di un polinomio, invece, riguarda il risultato ottenuto sostituendo una specifica variabile all’interno dell’espressione. Ad esempio, dato il polinomio £$p(x)=2x+3$£, il suo valore per £$x=2$£ sarà £$7$£.
In questo articolo capiremo proprio cos’è un polinomio e quali sono gli elementi che lo contraddistinguono: cos’è il grado, cos’è il valore e a cosa servono!
Che cos’è un polinomio
Se hai capito che cos’è un monomio e come si fanno le operazioni, allora sei pronto per scoprire che cos’è un polinomio.
Un polinomio infatti è la somma algebrica di monomi, non importa che siano simili oppure no. Il termine polinomio deriva dal greco polys che significa più, e nomen che significa termine.
£$ \frac{1}{2} ab + 3$£, £$ -7 x^2y + 2xy^2 $£, £$ 5zt + 8y^3 z^2 – t^3 $£ sono tutti polinomi.
£$ \frac{1}{2} ab + 3 $£ e £$ -7 x^2y + 2xy^2 $£ si chiamano anche binomi perché sono formati dalla somma di due monomi.
£$ 3 $£ è un monomio di grado £$ 0 $£ e si chiama termine noto.
£$ 5zt + 8y^3 z^2 – t^3 $£ si chiama anche trinomio perché è formato dalla somma di tre monomi. Questo trinomio non ha termine noto perché non ha monomi di grado £$ 0 $£.
Il grado di un polinomio
Che cos’è il grado di un polinomio?
Osserva il polinomio £$ 5x^3y + 6x^2y^4 $£. È formato da due monomi (è un binomio!).
Il primo monomio ha grado £$ 3+1 = 4 $£. Il secondo monomio ha grado £$ 2+4 = 6 $£.
Ma allora qual è il grado del polinomio? È £$ 6 $£! Scegliamo il grado più alto tra tutti i gradi dei monomi che lo compongono.
Ricorda che il monomio £$ x $£ ha grado £$ 1 $£ e il termine noto ha grado £$ 0 $£.
Se tutti i monomi hanno lo stesso grado, allora il polinomio si chiama polinomio omogeneo.
£$ 5x^3y + 6x^2y^4 $£ non è un polinomio omogeneo perché i due monomi che lo compongono hanno gradi diversi.
£$ 5at + t^2 – 4a^2 $£ è un polinomio omogeneo perché tutti i monomi che lo compongono hanno grado £$ 2 $£.
Il valore di un polinomio
Ora dovresti aver capito che un polinomio è un’espressione letterale con una struttura ben precisa.
Come hai già visto, ogni espressione letterale può essere valutata e questo vale anche per i polinomi! Se conosci il valore delle lettere puoi calcolare il valore di un polinomio.
Ad esempio, proviamo a calcolare il valore del polinomio £$ -\frac{3}{2}a^2x + \frac{5}{2}a – \frac{1}{3}x $£ sapendo che £$ a=-1 $£ e £$ x=3 $£.
Sostituiamo i valori di £$ a $£ e £$ x $£ nel polinomio:
£$ -\frac{3}{2}\cdot(-1)^2\cdot3 + \frac{5}{2}\cdot(-1) – \frac{1}{3}\cdot3 $£
Se svolgiamo i conti, troviamo che il valore del polinomio è £$ – 8 $£.