Prerequisiti per ripassare i prodotti notevoli
Prerequisiti perripassare i prodotti notevoli sono:
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Prodotti notevoli: definizione e esempi
Cosa sono i prodotti notevoli? Sono delle moltiplicazioni notevoli? In un certo senso sì.
I prodotti notevoli permettono di svolgere alcuni conti in modo più rapido rispetto alle normali regole di calcolo letterale.
Riconosci i prodotti notevoli e impara le tecniche per risolverli!
Appunti
Abbiamo imparato a fare le quattro operazioni con i monomi e anche con i polinomi. Ci sono però dei trucchi che permettono di svolgere certe operazioni più velocemente: sono i prodotti notevoli! Una volta riconosciuto un prodotto notevole, possiamo applicare dei trucchi per risolverlo velocemente.
Uno dei prodotti notevoli è la somma di due monomi per la differenza degli stessi: invece di fare tutti i passaggi richiesti per calcolare il prodotto tra due polinomi, possiamo risolverlo velocemente. Il risultato è uguale alla differenza dei quadrati dei due monomi.
Un altro prodotto notevole è il quadrato di un binomio. Finora abbiamo imparato a risolverlo moltiplicando il binomio per se stesso. Grazie ai prodotti notevoli, possiamo risolverlo più velocemente: il quadrato di un binomio è uguale ai quadrati dei due termini con l’aggiunta del doppio prodotto tra i due termini.
Osserva gli esempi e mettiti alla prova con gli esercizi!
Contenuti di questa lezione su: Prodotti notevoli: definizione e esempi
Somma per differenza
Il primo prodotto notevole che vediamo è il prodotto tra la somma e la differenza tra due monomi.
£$ (a + b)(a - b) $£
Se svolgiamo tutti i passaggi, otteniamo:
£$ a\cdot(a-b) + b\cdot(a-b) = \\ = a\cdot a + a\cdot(-b) + b\cdot a + b\cdot(-b) = \\ = a^2 -ab +ab-b^2 =$£
Sommiamo i monomi simili per trovare il polinomio ridotto a forma normale. I due monomi con parte letterale £$ ab $£ sono opposti, quindi il risultato è £$ a^2-b^2 $£.
Quando ti ritrovi davanti ad un prodotto del genere, somma per differenza tra due monomi, puoi evitare i passaggi e ricordare che:
$$ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $$
Esempi:
- £$ (2x + 3y)(2x-3y) $£ è il prodotto della somma per la differenza tra i monomi £$ 2x $£ e £$ 3y $£. Saltiamo i passaggi e troviamo il risultato £$ (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2 $£;
- Anche £$ (-2a+b)(2a+b) $£ è il prodotto di una somma e per una differenza!
Osserva bene i segni dei monomi £$ 2a $£ e £$ b $£. Il segno di £$ b $£ non cambia, è sempre £$ + $£. Il segno di £$ 2a $£ invece cambia! Possiamo riordinare i termini senza modificare il testo:
£$ (b-2a)(b+2a) $£
Ora saltiamo i passaggi e troviamo il risultato: £$ (b)^2 - (2a)^2 = b^2-4a^2 $£
Quadrato di un binomio
Un altro prodotto notevole è il quadrato di un binomio.
£$ (a + b)^2 $£
Per eseguire questa potenza puoi ricordare che “fare alla seconda” vuol dire moltiplicare un numero per se stesso £$ 2 $£ volte. E questo vale anche per le lettere, quindi per i monomi!
£$ (a + b)^2 = (a+b)(a+b)$£
Possiamo svolgere tutti i passaggi:
£$ a\cdot(a+b) + b\cdot(a+b) = \\ = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = \\ = a^2 +ab +ab +b^2 $£
Sommiamo i monomi simili e troviamo £$ a^2+2ab+b^2 $£.
Il termine £$ 2ab $£ si chiama doppio prodotto (perché è il doppio del prodotto tra i due monomi). Fai attenzione a non dimenticare il doppio prodotto! Dimenticarsene è un errore comune… NON è vero che £$ (a+b)^2=a^2+b^2 $£: manca il doppio prodotto!
Quando devi svolgere il quadrato di un binomio puoi evitare i passaggi e ricordare che:
$$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Esempio:
£$ (2x + 3y)^2 $£ è il quadrato del binomio £$ 2x + 3y $£.
Saltiamo i passaggi e troviamo il risultato:
£$ (2x)^2 +2\cdot (2x) \cdot(3y) + (3y)^2= \\ = 4x^2 +12xy+ 9y^2 $£
E se c'è il segno meno?
Prova a calcolare £$ (a-b)^2 $£! Scoprirai che £$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $£.
