Introduzione ai numeri relativi

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Tra gli insiemi numerici c'è anche l'insieme dei numeri relativi: vuoi scoprire cosa sono? I numeri relativi sono tutti i numeri interi con segno + o -. Scopri come rappresentarli sulla retta dei numeri dal più piccolo al più grande e attento al valore assoluto!

Appunti

L'insieme dei numeri relativi comprende tutti i numeri interi con il segno. Non meravigliarti! Persino quando leggi le temperature minime invernali, può capitarti di leggere dei numeri con il segno meno davanti: £$ -3^\circ C $£!

L’insieme dei numeri naturali è un suo sottoinsieme: contiene tutti i numeri con segno £$ + $£. Anche le frazioni, le radici e i numeri irrazionali si possono scrivere con il segno davanti. Scopri le relazioni tra tutti questi insiemi numerici e i loro nomi!

I numeri relativi possono essere concordi (con lo stesso segno) o discordi (con segno opposto). Il modulo di un numero relativo, detto anche valore assoluto, è uguale al numero senza segno. Due numeri con lo stesso modulo e segno opposto si dicono opposti.

Impara a riconoscere e ordinare i numeri relativi sulla retta numerica e preparati ad affrontare verifica e interrogazione senza alcun timore!

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Prerequisiti per ripassare i numeri relativi

Prerequisiti per ripassare i numeri relativi:

Numeri sotto e sopra la terra

Che cosa sono i numeri relativi?
I numeri relativi sono quei numeri che hanno il segno, positivo o negativo. Finora abbiamo studiato i numeri naturali, le frazioni, le radici: tutti numeri senza segno.


I numeri naturali con l’aggiunta del segno £$ + $£ o del segno £$ - $£ costituiscono l’insieme dei numeri interi che indichiamo con £$ \mathbb{Z} $£.

Lo chiamiamo insieme dei numeri interi perché contiene tutti i numeri "interi": non contiene frazioni, né decimali, né radici.

Anche lo 0 è un numero relativo, ma non è né negativo, né positivo!

La rappresentazione dei numeri relativi

A che cosa servono questi numeri relativi? Non bastano i numeri naturali, le frazioni e le radici?

Abbiamo visto che tra numeri naturali non è sempre possibile fare la sottrazione. Per questo motivo abbiamo introdotto l’insieme dei numeri interi £$ \mathbb{Z} $£: in questo insieme possiamo svolgere tutte le addizioni e tutte le sottrazioni.

Per studiare i numeri interi ci aiutiamo con la retta numerica: lo £$ 0 $£ è come uno specchio. Alla sua destra ci sono i numeri positivi che crescono sempre di più, alla sua sinistra i numeri specchiandosi diventano negativi e decrescono sempre di più.

Esempio: qual è il numero più grande tra £$ - 5 $£ e £$ - 12 $£?
Non farti ingannare! I numeri con il segno meno funzionano al contrario: possiamo dire che “più sono grandi, più sono piccoli”. Quindi £$ -5 > -12 $£.

Non ne sei convinto? Prova a immaginare se fa più freddo con £$ -5^\circ \text{C} $£ o con £$ -12^\circ \text{C} $£… ;-)

L'insieme dei numeri interi e altri insiemi numerici

L’insieme dei numeri relativi, o numeri interi, è indicato con la lettera £$ \mathbb{Z} $£.
Contiene tutti i numeri interi, positivi e negativi. Quindi l’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N} $£ è un suo sottoinsieme.

Quali altri numeri conosci?
Abbiamo studiato anche le frazioni, cioè i numeri razionali: sono i numeri dell’insieme £$ \mathbb{Q} $£.
I numeri razionali possono essere positivi e negativi, quindi possiamo scrivere che £$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $£.

Ci sono però altri numeri che non si possono scrivere sotto forma di frazione, come £$ \pi $£ oppure £$ \sqrt 2 $£: sono i numeri irrazionali! Fanno parte dell’insieme dei numeri reali £$ \mathbb{R} $£. Anche i numeri irrazionali possono essere positivi o negativi!

Quindi gli insiemi numerici sono

$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$

Numeri concordi, discordi, opposti e valore assoluto

Due numeri che hanno lo stesso segno vanno d’accordo: sono concordi!
Due numeri che hanno segno diverso non vanno d’accordo: sono discordi!

Esempi:
£$ -12 $£ e £$ -4 $£ sono concordi, hanno entrambi segno £$ - $£.
£$ -1 $£ e £$ +6 $£ sono discordi, hanno segno diverso!

Mettiamoci sullo £$ 0 $£ della retta dei numeri, facciamo £$ 8 $£ salti verso destra e raggiungiamo il numero £$ +8 $£. Se facciamo £$ 8 $£ salti verso sinistra torniamo esattamente al nostro punto di partenza, lo £$ 0 $£.
Possiamo rappresentare l’operazione appena fatta con il linguaggio matematico scrivendo £$ +8 + (-8)=0$£.
£$ +8 $£ e £$ -8 $£ sono due numeri discordi la cui somma fa £$ 0 $£: allora sono opposti!

Se rappresentiamo i numeri £$ +8 $£ e £$ -8 $£ sulla retta, notiamo subito che sono simmetrici rispetto allo £$ 0 $£ e che quindi la loro distanza dallo £$ 0 $£ è la stessa: £$ 8 $£.
Questa distanza si chiama anche valore assoluto o modulo.
Il valore assoluto di £$ +8 $£ e il valore assoluto di £$ -8 $£ sono uguali e valgono £$ 8 $£.
In simboli matematici scriviamo che:
£$ |+8|=|-8| = 8 $£

E il valore assoluto di £$ 0 $£? È £$ 0$£!
£$|0|=0$£