Prerequisiti per ripassare moltiplicazioni, divisioni e potenze di numeri relativi
Prerequisiti per ripassare moltiplicazioni, divisioni e potenze di numeri relativi sono:
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Moltiplicazioni, divisioni e potenze con i numeri relativi
Le operazioni con i numeri relativi sono come quelle che abbiamo già imparato. Scopri la regola dei segni per moltiplicare e dividere due numeri interi. Impara a risolvere le potenze di numeri relativi. E scopri cosa succede se l’esponente è negativo! Impara tutte le proprietà di moltiplicazione e divisione per risolvere le espressioni!
Appunti
Dopo aver scoperto come funzionano addizione e sottrazione, scopriamo le altre operazioni fondamentali: moltiplicazione, divisione e potenza.
La moltiplicazione e la divisione tra numeri interi rispettano la regola dei segni: se i numeri moltiplicati sono concordi, il risultato è positivo; se i numeri moltiplicati sono discordi, il risultato è negativo.
Ripassa la moltiplicazione e la divisione tra numeri razionali: a complicare un pochino le cose, la presenza dei segni £$ + $£ e £$ - $£.
Ricordi come funzionano le potenze? Anche per i numeri interi valgono le stesse regole che abbiamo già imparato. Dobbiamo solo fare attenzione ai segni! Nel caso in cui la base sia un numero negativo, controlliamo l’esponente: se è un numero pari, il risultato è positivo, se è un numero dispari, il segno resta negativo.
Scopri come funzionano le potenze con esponente negativo! Per tornare all’esponente positivo che già conosci, basta… Ribaltare il numero!
Ora che hai riscoperto tutte queste proprietà, risolvi le espressioni con i numeri relativi!
Contenuti di questa lezione su: Moltiplicazioni, divisioni e potenze con i numeri relativi
Moltiplicazioni con i numeri interi
Fare le moltiplicazioni con i numeri interi può essere molto divertente!
Ti basta ricordare come fare le moltiplicazioni tra numeri naturali e poi imparare una semplice regolina: la regola dei segni.
Se i segni dei fattori sono concordi, il risultato è positivo.
Se i segni dei fattori sono discordi, il risultato è negativo.
Per fare una moltiplicazione con i numeri interi:
- decidiamo il segno del risultato con la regola dei segni;
- calcoliamo il prodotto tra i valori assoluti dei fattori.
Esempi:
£$ (+5) \cdot (+2) = +10 $£
£$ (-5) \cdot (-2) = +10 $£
£$ (+5) \cdot (-2) = -10 $£
£$ (-5) \cdot (+2) = -10 $£
Ricorda! Alcune delle regole che abbiamo già imparato, valgono anche per le moltiplicazioni tra numeri interi.
Qualsiasi numero moltiplicato per £$ 0 $£ dà come risultato £$ 0 $£.
£$ (+5)\cdot 0 = 0$£
£$ (-5)\cdot 0 = 0$£
Abbiamo imparato che £$ 1$£ è l'elemento neutro della moltiplicazione.
Questa proprietà vale anche per i numeri relativi: la moltiplicazione per £$ 1 $£ dà come risultato il numero stesso!
£$ (+5)\cdot (+1) = +5 $£
£$ (-5)\cdot (+1) = -5 $£
È un discorso diverso per la moltiplicazione per £$ -1 $£.
La moltiplicazione per questo numero dà come risultato il numero di partenza, ma con il segno opposto!
£$ (+5)\cdot (-1) = -5 $£
£$ (-5)\cdot (-1) = +5 $£
Moltiplicare per £$ -1 $£ equivale a cambiare il segno!
Divisioni con i numeri interi
Forse ora stai già immaginando come si fanno le divisioni con i numeri interi...
Anche questa volta ti basta ricordare come fare le divisioni tra numeri naturali e conoscere la regola dei segni per la divisione.
Per fare una divisione con i numeri interi:
- decidiamo il segno del risultato con la regola dei segni;
- calcoliamo la divisione tra i valori assoluti dei fattori.
Esempi:
£$ (+10) : (+2) = +5 $£
£$ (-10) : (-2) = +5 $£
£$ (+10) : (-2) = -5 $£
£$ (-10) : (+2) = -5 $£
Ricorda! Alcune delle regole che abbiamo già imparato, valgono anche per le divisioni tra numeri interi.
Il quoziente tra due numeri interi non è sempre un numero intero. Prima di tutto, non si può mai dividere per £$ 0 $£!
£$ (+10) : 0 $£ non ha significato.
Inoltre, ad esempio, il quoziente £$ (+5) : (-3) $£ non è un numero intero!
Come hai già visto quando hai studiato la divisione, il numero £$ 0 $£ diviso per qualsiasi altro numero diverso da £$0$£, dà £$ 0 $£ come risultato!
£$ 0 : (+5) = 0$£
£$ 0 : (-5) = 0$£
Qualsiasi numero diviso per £$ +1 $£ dà come risultato il numero stesso!
£$ (+5) : (+1) = +5 $£
£$ (-5) : (+1) = -5 $£
E la divisione per £$-1$£? Come per la moltiplicazione, qualsiasi numero diviso per £$ -1 $£ dà come risultato il suo opposto!
£$ (+5) : (-1) = -5 $£
£$ (-5) : (-1) = +5 $£
Anche dividere per £$ -1 $£ equivale a cambiare il segno!
Moltiplicazioni e divisioni con i numeri razionali
Moltiplicare e dividere numeri razionali positivi o negativi è un gioco da ragazzi!
Basta ricordare le moltiplicazioni e le divisioni tra frazioni, le regole dei segni e che £$ -\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} $£.
Per moltiplicare due frazioni ricorda che puoi semplificare in croce per velocizzare i calcoli.
Possiamo trasformare la divisione tra due frazioni nella moltiplicazione della prima frazione per il reciproco della seconda.
Esempi:
£$-\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5}=-\frac{2\cdot 6}{3\cdot5}=-\frac{12}{15}=-\frac{4}{5}$£
£$-\frac{2}{3} : \left(-\frac{8}{9}\right) =-\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{8}\right) = $£ £$ +\frac{2\cdot 9}{3\cdot8}=+\frac{18}{24}=+\frac{3}{4}$£
Potenze di numeri interi e razionali
Le potenze di numeri interi potrebbero trarre in inganno… ma basta conoscere un semplice trucchetto per calcolarle in quattro e quattr’otto.
Ricordiamo la definizione di potenza. Ad esempio, fare £$ (+5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ +5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.
£$ (+5)^2 =(+5)\cdot(+5)=+25$£
Nello stesso modo, fare £$ (-5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ -5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.
£$ (-5)^2 =(-5)\cdot(-5)=+5^2=+25$£
Il prodotto di due segni £$ - $£ è un segno £$ + $£! Il quadrato di £$ -5 $£ è il numero positivo £$ 25 $£.
E £$ (-2)^3 $£? £$ (-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -2^3 = -8$£
Il prodotto di tre segni £$ - $£ è un segno £$ - $£!
In generale, quando calcoliamo la potenza di un numero negativo:
- se l’esponente è pari, il risultato è positivo (segno £$ + $£);
- se l’esponente è dispari, il risultato è negativo (segno £$ - $£).
Anche per calcolare le potenze di frazioni con segno meno, puoi utilizzare la stessa regola!
Esempi:
£$ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = +\frac{4}{25} $£
£$ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} $£
Ricorda!
Qualsiasi numero elevato alla £$ 1 $£ dà come risultato il numero stesso: £$(-5)^1=-5$£
Qualsiasi numero diverso da £$ 0 $£ elevato alla £$ 0 $£ dà come risultato £$ 1 $£ indipendentemente dal segno: £$(-5)^0=1$£
Potenze con esponente negativo
E se l’esponente di una potenza fosse un numero intero negativo?
Che cosa vuol dire la scrittura £$ (+5)^{-2} $£?
La potenza con esponente intero negativo e con base intera è una frazione!
$$ (+5)^{-2} =+\frac{1}{5^2}=+\frac{1}{25}$$
Al numeratore scriviamo il numero £$ 1 $£ e al denominatore scriviamo la stessa potenza ma con esponente positivo.
Esempio: £$ (-3)^{-4} =+\frac{1}{(-3)^4}=+\frac{1}{81}$£
E che cosa succede se la potenza con esponente intero negativo ha come base una frazione?
Dobbiamo considerare la frazione reciproca, quella che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.
$$ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(-\frac{5}{2}\right)^3 = -\frac{125}{8} $$
Quindi, la potenza negativa di un numero è uguale alla potenza positiva del reciproco della base!
Le proprietà della moltiplicazione e delle potenze
La moltiplicazione tra numeri interi e razionali, positivi e negativi, ha le stesse proprietà che abbiamo già imparato in prima media.
Proprietà commutativa
£$ (-5)\cdot(+2)=(+2)\cdot(-5) = -10 $£
Proprietà associativa
£$ [(-5)\cdot(+2)]\cdot (-3)=(-5)\cdot[(+2)\cdot(-3)] = +30 $£
Proprietà distributiva rispetto all’addizione
£$ (-5)\cdot[(+2)+(-3)] =[(-5)\cdot(+2)]+ [(-5)\cdot(-3)]= +5 $£
Inoltre valgono tutte le proprietà delle potenze che hai visto fino ad ora!
Prodotto di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} \cdot (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) + (-3)} = (-2)^{-1} $£
Divisione di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} : (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) - (-3)} = (-2)^{+5} $£
Prodotto di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} \cdot (+3)^{-3} = ((-2) \cdot (+3))^{-3} = (-6)^{-3} $£
Divisione di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} : (+3)^{-3} = ((-2) : (+3))^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} $£
Potenza di potenza
£$ \left[(-2)^{-3}\right]^{+2} = (-2)^{(-3) \cdot (+2)}=(-2)^{-6} $£
