Moltiplicazione, divisione e loro proprietà

La moltiplicazione è un'addizione ripetuta. La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Calcolare prodotti e quozienti è più semplice se applichi la proprietà commutativa, associativa e distributiva della moltiplicazione oppure l'invariantiva della divisione!

Le 4 operazioni sono quelle che utilizzi più spesso nella tua vita.
Hai ripassato l'addizione e la sottrazione con le loro proprietà, cosa manca? La moltiplicazione e la divisione!

La moltiplicazione e la divisione sono utili per organizzare i compiti delle vacanze, per esempio!
La moltiplicazione è un'addizione ripetuta: i suoi termini si chiamano fattori e il risultato è il prodotto. La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: i suoi termini sono il dividendo ed il divisore e il risultato è il quoziente.

Anche per la moltiplicazione, come per l'addizione, valgono la proprietà associativa e la proprietà commutativa. Per calcolare il prodotto, però, puoi applicare anche la proprietà distributiva. Invece la divisione, come la sottrazione gode solo della proprietà invariantiva.

Le video lezioni e gli esercizi ti aiuteranno a ripassare tutte le operazioni con le loro proprietà.

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Prerequisiti per ripassare moltiplicazione e divisione

Prerequisiti per ripassare moltiplicazione e divisione sono le lezioni su: 

Moltiplicazione e divisione per organizzare i compiti!

Ripassiamo moltiplicazione e divisione!

Con il prodotto possiamo fare le somme più velocemente. Il prodotto di due numeri, infatti, equivale a sommare il primo numero tante volte quante sono indicate dal secondo numero.
Per esempio: £$ 3 \times 4 $£ (oppure £$ 3 \cdot 4 $£) è uguale a 4 volte 3, cioè £$ 3 + 3 + 3 + 3 = 12 $£.
Questa operazione si chiama moltiplicazione! Il £$ 3 $£ ed il £$ 4 $£ sono i fattori, il £$ 12 $£ è il prodotto.

Il quoziente tra due numeri è il più grande numero che, moltiplicato per il secondo termine, dà come risultato il primo: £$ 24 : 3 = 8 $£ perché £$ 8 \cdot 3 = 24 $£.
Questa operazione si chiama divisione! Il £$ 24 $£ si chiama dividendo, il £$ 3 $£ si chiama divisore e l’£$ 8 $£ è il quoziente.

Proprietà commutativa della moltiplicazione

Anche la moltiplicazione, come l’addizione, ha la proprietà commutativa: se cambiamo l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

Esempio: £$ 3 \cdot 4 $£ è uguale a £$ 4 \cdot 3 $£. Il risultato è sempre £$ 12 $£!

 

Proprietà associativa della moltiplicazione

Un’altra proprietà comune ad addizione e moltiplicazione è la proprietà associativa: se sostituiamo a due numeri il loro prodotto, il risultato non cambia.

Esempio: Risolviamo il prodotto di tre numeri £$ 3 \cdot 4 \cdot 2 $£.
Moltiplicando prima i primi due numeri troviamo: £$ (3 \cdot 4) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24 $£.
Se moltiplichiamo invece per primi gli ultimi 2 numeri? £$ 3 \cdot (4 \cdot 2) = 3 \cdot 8 = $£… di nuovo £$ 24 $£!

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma ci permette di “distribuire” le operazioni rendendo i calcoli più semplici. Quando dobbiamo moltiplicare un numero per una somma, invece di svolgere subito la somma e fare quindi una moltiplicazione "più difficile", possiamo fare due moltiplicazioni più facili e sommare solo alla fine.

Esempio: £$ 6 \cdot (7 + 9) $£. Risolviamo svolgendo i calcoli nella parentesi e troviamo £$ 6 \cdot 16 = 96 $£. Ma è una moltiplicazione più difficile!
Proviamo invece a distribuire il prodotto sulla somma: £$ 6 \cdot (7 + 9) = 6 \cdot 7 + 6 \cdot 9 $£. Dobbiamo fare due moltiplicazioni, ma sono immediate (conosciamo il risultato dalle tabelline): £$ 42 + 54 = 96 $£.
Il risultato non cambia, cambia come ci siamo arrivati!

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza

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La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza ci permette di “distribuire” le operazioni rendendo i calcoli più semplici.

Quando dobbiamo moltiplicare un numero per una differenza, invece di svolgere subito la differenza, possiamo fare due moltiplicazioni (più facili) e sottrarre solo alla fine.

Proprietà invariantiva della divisione

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. La divisione ha la proprietà invariantiva: se moltiplichiamo o dividiamo i due termini della divisione per uno stesso numero, il risultato non cambia.

Esempio: £$ 24 : 6 = 4 $£ è come fare £$ (24 \cdot 2) : (6 \cdot 2) = 48 : 12 = 4 $£ oppure, e forse meglio perché semplifica i calcoli, £$ (24 : 3) : (6 : 3) = 8 : 2 = 4 $£.

Per la divisione non valgono la proprietà commutativa e la proprietà associativa che abbiamo visto per la moltiplicazione.

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