Proprietà delle potenze e tutte le formule complete

Le potenze sono molto importanti nella matematica, perché le ritroviamo molto spesso in diversi elementi. Ad esempio, sono utili per la notazione scientifica, oppure per scrivere numeri molto grandi o molto piccoli in modo più rapido e veloce. In questo articolo troverai tutte le formule complete per il calcolo e la risoluzione delle potenze, che siano di numeri interi o di frazioni.

Ripassa insieme a noi e preparati per l’interrogazione!

• Cosa sono le potenze?
• Potenze di numeri relativi
• Potenze di numeri razionali
• Potenze particolari
• Prodotto di potenze con la stessa base
• Quoziente di potenze con la stessa base
• Prodotto di potenze con lo stesso esponente
• Quoziente di potenze con lo stesso esponente
• Potenza di potenza

Cosa sono le potenze?

Le potenze sono un modo veloce per scrivere le moltiplicazioni in cui tutti i fattori sono tutti uguali. L’esponente indica quante volte la base si ripete nella moltiplicazione.

Ad esempio se moltiplichiamo £$a$£ per se stesso £$n$£ volte:

£$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a = b$£ equivale a scrivere £$a^{n} = b$£ con £$a \ne 0$£, dove £$a$£ è la base e £$n$£ è l’esponente.

Esempio: £$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$£ equivale a scrivere £$2^4 = 16$£, dove £$ 2$£ è la base e £$4$£ è l’esponente.

Ricorda! Possiamo utilizzare le potenze anche con le lettere, i monomi e i polinomi.

Potenze di numeri relativi

Abbiamo studiato le potenze anche con i numeri relativi! Se £$a$£ è negativo e l’esponente è pari (lo indichiamo con £$ 2n $£), il risultato è un numero positivo:

$$ (-a)^{2n} = (-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a) = a^{2n} $$

Esempio: £$ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 $£.

Se £$a$£ è negativo e l’esponente è dispari (lo indichiamo con £$ 2n + 1 $£), il risultato è un numero negativo:

$$(-a)^{2n + 1} = (-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a) = -(a^{2n + 1})$$

Esempio: £$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $£.

Potenze di numeri razionali

Se la frazione £$\dfrac{a}{b}$£ è la base della potenza, il risultato è una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono potenze di quelli della frazione iniziale:

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^n}{b^n}$$

Potenze particolari

Due numeri che si comportano in modo particolare sono lo £$ e l’[iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]1$£. Qualunque sia l’esponente £$n$£, se la base della potenza è £$1$£, il risultato della potenza è sempre £$1$£.

$$1^n = 1$$

Continuando a moltiplicare lo £$ per se stesso, troveremo sempre [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]. Qualsiasi potenza di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/], cioè qualunque sia l’esponente [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]n$£ (diverso da zero), il risultato della potenza è sempre [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/].

$$0^n = 0$$

Qualsiasi numero (diverso da zero) elevato alla £$ è sempre uguale a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]1$£!

$$a^0 = 1$$

Esempio: £$55^0 = 1$£, £$(-7)^0 = 1$£, £$\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 = 1$£

Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

$$a^b · a^c = a^{b + c}$$

Esempio:

• £$2^2 · 2^3 = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$£
• £$ (-3)^3 · (-3)^4 = (-3)^{3 + 4} = (-3)^7 = -2187$£
• £$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2· \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2+4} = $£ £$ \left(\dfrac{3}{5}\right)^6 = \dfrac{3^6}{5^6} = \dfrac{729}{15625}$£

Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:

$$a^b : a^c = a^{b – c}$$

Esempio:

• £$4^7 : 4^5 = 4^{7 – 5} = 4^2 = 16$£
• £$(-5)^9 : (-5)^3 = (-5)^{9 – 3} = (-5)^6 = 15625$£
• £$\left( \dfrac{2}{7}\right)^{13}: \left(\dfrac{2}{7}\right)^9 = \left(\dfrac{2}{7}\right)^{13 – 9} = $£ £$ \left(\dfrac{2}{7}\right)^4 = \dfrac{2^4}{7^4} = \dfrac{16}{2401}$£

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente:

$$a^b · c^b = (a · c)^b$$

Esempio:

• £$9^5 · 6^5 = (9 · 6)^5 = 54^5 $£
• £$(-3)^3 · 4^3 = (-3 · 4)^3 = (-12)^3 = -1728$£
• £$\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 · \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{4} · \dfrac{2}{3}\right)^2 = $£ £$ \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{5^2}{6^2} = \dfrac{25}{36}$£

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come base il quoziente delle due basi e come esponente lo stesso esponente:

$$a^b : c^b = \left(\dfrac{a }{ c}\right)^b$$

Esempio:

• £$10^5 : 5^5 = \left(\dfrac{10}{5}\right)^5 = 2^5 = 32$£
• £$(-12)^3 : (-4)^3 = \left(\dfrac{-12}{ -4}\right)^3 = 3^3 = 27$£
• £$\left(\dfrac{36}{4}\right)^4 : \left(\dfrac{6}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{36}{4} \cdot \dfrac{4}{6}\right)^4 = 6^4 = 1296$£

Potenza di potenza

La potenza di potenza è una potenza elevata ad un altro esponente. Il risultato è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti:

$$(a^b)^c = a^{b · c}$$

Esempio:

• £$(3^2)^3 = 3^{2 · 3} = 3^6 = 729$£
• £$((-5)^3)^3 = (-5)^{3 · 3} = (-5)^9 = -5^9 $£
• £$\left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\right)^1 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3 · 1} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}$£

Tabella con le proprietà delle potenze per il ripasso

Prova a rileggere tutte le proprietà delle potenze con il nostro schema e cerca di capire se le ricordi tutte! Altrimenti, ripassale insieme a noi.