Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Tutti i giorni calcoliamo delle proporzioni. E tutti i giorni ci troviamo a confrontare grandezze per vedere come varia una in funzione dell’altra. Impara a riconoscere la proporzionalità diretta e la proporzionalità inversa.

Appunti

Dopo aver studiato le proporzioni e tutte le loro proprietà, cerchiamo di capire qualcosa di più sulle grandezze in proporzione.

Due grandezze sono in proporzione quando esiste una certa relazione tra di esse: possiamo scrivere una in funzione dell’altra e riconoscere qualche caratteristica che resta invariata e riconoscere una proporzionalità diretta o inversa.

Cosa sono la proporzionalità diretta e inversa? Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è sempre costante, cioè calcolando la divisione troviamo sempre lo stesso numero. Due grandezze sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è sempre costante, cioè calcolando la moltiplicazione troviamo sempre lo stesso numero. Le grandezze direttamente proporzionali e quelle inversamente proporzionali sono molto utili per capire la matematica!

Le proporzioni saranno utili anche quando andrai alle scuole superiori e studierai la retta o l'iperbole. Infatti puoi rappresentare le leggi di proporzionalità diretta e inversa rispettivamente con una retta o con un'iperbole.

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Prerequisiti per ripassare la proporzionalità

Proporzionalità diretta

Due grandezze sono direttamente proporzionali se all'aumentare o diminuire dell'una, aumenta o diminuisce anche l'altra in proporzione. Cioè se una grandezza dimezza, raddoppia, triplica, quadruplica, ecc., anche l’altra dimezza, raddoppia, triplica, quadruplica, ecc.

Parliamo di proporzionalità diretta tra le grandezze £$x$£ e £$y$£ quando il loro rapporto resta costante, cioè £$\frac{x}{y}=k$£, con £$k$£, numero naturale diverso da zero che chiamiamo coefficiente di proporzionalità diretta. £$x$£ e £$y$£ sono direttamente proporzionali se vale l’uguaglianza £$x=k \cdot y$£.

Esempio: l'area del rettangolo si trova con la formula £$A=b \cdot h$£, dove £$b$£ è la base e £$h$£ l'altezza. Se £$h=5 \text{ cm}$£, allora £$A=b \cdot 5$£, quindi possiamo dire che l'area e l'altezza di un rettangolo sono grandezze direttamente proporzionali! In questo caso la costante di proporzionalità è pari a £$5$£. Questo vale qualsiasi sia la base, quindi per tutti i rettangoli con altezza di lunghezza fissata, all'aumentare della base aumenta anche l'area.

Proporzionalità inversa

Due grandezze sono inversamente proporzionali se all'aumentare di una, l'altra diminuisce in proporzione o, viceversa al diminuire di una, l'altra aumenta in proporzione. Quindi se una grandezza dimezza, raddoppia, triplica, quadruplica, ecc., l’altra raddoppia, diventa la metà, un terzo, un quarto, ecc.

Parliamo di proporzionalità inversa tra due grandezze £$x$£ e £$y$£ quando il loro prodotto resta costante, cioè £$x \cdot y=k$£, con £$k$£ coefficiente di proporzionalità inversa. £$x$£ e £$y$£ sono inversamente proporzionali se vale l’uguaglianza £$y= \frac{k}{x} $£.

Esempio: la formula per trovare l'area del rettangolo è £$A=b\cdot h$£. Se l'area è fissa e vale £$A= 48 \text{ cm}^2$£, la base £$b$£ e l’altezza £$h$£ sono inversamente proporzionali. Infatti il loro prodotto è costante ed è uguale a £$48$£ (coefficiente di proporzionalità inversa) e possiamo scrivere £$b \cdot h = 48$£.