Proporzioni

Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti equivalenti.
Esempio: £$2 : 5 = 54 : 135 $£ è una proporzione in cui uguagliamo il rapporto £$2 : 5$£ e il rapporto £$54 : 135$£. Infatti £$ \frac{54}{135} = \frac{6 \cdot 9}{ 15 \cdot 9} = \frac{2}{5}$£. La proporzione si legge "£$2$£ sta a £$5$£ come £$54$£ sta a £$135$£".

Gli elementi della proporzione hanno dei nomi:

• i primi termini di ciascun rapporto sono gli antecedenti, i secondi termini invece sono i conseguenti.
  Esempio: per la proporzione £$2 : 5 = 54 : 135$£ il £$2$£ ed il £$54$£ sono gli antecedenti, mentre il £$5$£ ed il £$135$£ sono i conseguenti.
• I termini esterni della proporzione si chiamano estremi, mentre i termini interni si chiamano medi.
  Esempio: per la proporzione £$2 : 5 = 54 : 135$£ il £$2$£ e il £$135$£ sono gli estremi, mentre il £$5$£ e il £$54$£ sono i medi.

Possiamo trovare rapporti tra grandezze omogenee e non omogenee. Quando svolgiamo una proporzione è importante che i due antecedenti si riferiscano entrambi alla parte (o viceversa al tutto) e che i due conseguenti si riferiscano entrambi al tutto (o viceversa alla parte).

Per esempio diciamo che il £$ 20\% $£ di £$ 80 $£ è uguale a £$ 16 $£ e possiamo scrivere questa proporzione: £$ 20 : 100 = 16 : 80 $£. Gli antecedenti sono £$ 20 $£ e £$ 16 $£ e rappresentano entrambi una parte del totale (che è scritto nei conseguenti, ed è il £$ 100 \% $£ oppure £$ 80 $£). Ma possiamo scrivere anche questa proporzione: £$ 100 : 20 = 80 : 16 $£. In questo caso, gli antecedenti rappresentano il tutto (£$ 100 \% $£ e £$ 80 $£), mentre i conseguenti sono la parte (£$ 20 \% $£ e £$ 16 $£).

La proprietà fondamentale delle proporzioni dice che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Esempio: £$2 : 5 = 54 : 135$£ troviamo quindi che £$5 \cdot 54 = 2 \cdot 135$£. Infatti £$ 5 \cdot 54 = 270 = 2 \cdot 135$£.

A cosa serve la proprietà fondamentale delle proporzioni? Possiamo usarla per verificare se una proporzione è corretta, cioè per controllare che sia un'uguaglianza tra due rapporti.

Esempio: £$2:5=3:15$£ non è una proporzione, infatti £$5 \cdot 3 =15 $£ che è diverso da £$ 2 \cdot 15=30$£.

Nel calcolo delle proporzioni, la proprietà fondamentale è più utile quando si deve calcolare un termine di una proporzione conoscendo gli altri £$ 3 $£. Se non conosci un valore della proporzione, chiamalo £$x$£. Per trovare il valore di £$x$£ applica la proprietà fondamentale e poi usa le formule inverse.

Esempio: £$5 : 400 = 2 : x$£ basta moltiplicare tra loro i medi e gli estremi, come dice la proprietà fondamentale. In questo modo troviamo £$400 \cdot 2 = 5 \cdot x$£, quindi per ricavare £$x$£, dobbiamo trovare quel numero che, moltiplicato per £$ 5 $£ dà £$ 800 $£, cioè £$ \frac{400 \cdot 2}{5} = x$£ che possiamo scrivere anche così: £$x = \frac{400 \cdot 2}{5}$£. Semplifichiamo il £$400$£ con il £$5$£ e troviamo che £$x = 80 \cdot 2 = 160$£.

Questo è quello che facciamo anche quando dobbiamo fare una torta per £$2$£ persone, ma nella ricetta ci sono le dosi per £$5$£ persone. Per trovare le dosi esatte, svolgi una proporzione! Facciamolo con la farina: per £$5$£ persone servono £$750 \text{ g}$£ di farina, per £$2$£ persone ne serviranno £$x$£, quindi scriviamo £$750:5=x:2$£. Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni troviamo £$5 \cdot x=750 \cdot 2 $£ allora £$ x=\frac{750 \cdot 2}{5}=300$£
Per £$2$£ persone bastano £$300 \text{ g}$£ di farina! Fai la proporzione con tutti gli ingredienti e la torta verrà perfetta!