Rapporti tra grandezze

In matematica un rapporto è un quoziente tra due numeri. I due numeri rappresentano due grandezze che possono essere omogenee o non omogenee a seconda che siano o no dello stesso tipo. I rapporti tra grandezze omogenee sono un numero puro, quelli tra grandezze non omogenee, no.

È bello avere un buon rapporto con i genitori e con i familiari! Lo stesso vale con gli insegnanti e i compagni di scuola, ma anche per lo sport: puoi riuscire a guadagnare un buon rapporto tra punti totali e punti fatti da te in ogni partita! Alcuni di questi sono rapporti affettivi e non c'entrano nulla con la matematica, ma quando si tratta di pensare al rapporto tra goal fatti e goal fatti da te, o goal fatti e goal subiti nelle varie partite di campionato, beh... Per svolgere questi rapporti ti serve la matematica!

In matematica un rapporto tra due grandezze non è altro che il quoziente tra i due numeri. Puoi distinguere i rapporti tra grandezze omogenee, che danno un numero puro (cioè senza unità di misura), oppure puoi incontrare i rapporti tra grandezze non omogenee, che non danno un numero puro, ma hanno un'unità di misura che dipende da quelle delle due grandezze che si confrontano.

Perché facciamo i rapporti in matematica? A cosa servono i rapporti in matematica e nella vita? Risolvere un rapporto può essere utile per confrontare due dati, due numeri, due grandezze. Per esempio puoi fare il rapporto tra il peso del tuo gatto e di quello della tua amica per capire quale è più grande. Oppure puoi usare i rapporti per dosare la farina quando prepari una torta.

Insomma, che siano rapporti interpersonali o rapporti in matematica, i rapporti sono molto utili: prova a fare gli esercizi per averne conferma!

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per ripassare i rapporti

Prerequisiti per ripassare i rapporti:

Cos'è un rapporto in matematica

Hai fatto £$2$£ esercizi su £$4$£. Hai fatto £$5$£ punti sui £$15$£ totali della partita.
Cosa significa? In ogni caso stai cercando di capire in quale rapporto sono due dati, due grandezze, due numeri. Cos'è il rapporto tra due grandezze? A cosa serve calcolare il rapporto? Dire che hai fatto £$2$£ esercizi su £$4$£ significa che ne hai fatti i £$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5=50$£%. Insomma, hai fatto la metà dei compiti! Hai trovato in che rapporto sono gli esercizi già svolti rispetto a quelli che devi ancora fare, e per farlo hai svolto una divisione.

Quindi in matematica un rapporto è un quoziente. È una divisione tra due numeri o tra due grandezze che possono essere dello stesso tipo o no.

I pitagorici dimostrarono che c'è un rapporto tra la musica e la matematica! Secondo loro, i toni di una scala musicale sono legati ai rapporti tra i numeri: premendo una corda sulla metà, suona l'ottava superiore; premendola ai suoi £$ \frac{3}{4} $£, suona la quarta superiore; premendola ai suoi £$ \frac{2}{3} $£, suona la quinta superiore, e così via.

Rapporti tra grandezze omogenee e non omogenee

In matematica un rapporto è un quoziente, cioè una divisione tra due grandezze che possono essere dello stesso tipo oppure no.

Le grandezze dello stesso tipo sono grandezze omogenee: sono quelle grandezze che, per esempio, si possono misurare con la stessa unità di misura, come il peso di un cane ed il peso di un gatto. Anche il numero di goal o di esercizi fatti sono due grandezze omogenee perché confrontano lo stesso tipo di dati. Il rapporto tra grandezze omogenee dà sempre un numero puro (cioè senza unità di misura) come risultato.

Esempio: In che rapporto sono un cane di £$9 \text{ kg}$£ ed un gatto di £$3 \text{ kg}$£? Calcoliamo £$\frac{9}{3} = \frac{3}{1} = 3$£, un numero puro. Il cane è esattamente il triplo del gatto!

Le grandezze di tipi diversi sono quelle non omogenee, cioè non si possono misurare con la stessa unità di misura: sono grandezze non omogenee il peso di un gatto e l’altezza di una giraffa, oppure i punti fatti nella partita di calcio e la lunghezza del campo. Il rapporto tra grandezze non omogenee non è più un numero puro, ma il risultato è una grandezza diversa dalle due di partenza.

Esempio: Una bici percorre £$25 \text{ km}$£ in £$5 \text{ h}$£. Il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato ci dice la velocità della bicicletta, cioè £$ \frac{25 \text{ km}}{5 \text{ h}} = 5 \text{ km/h}$£ (grandezza diversa dalle prime due).

Come scrivere il rapporto: l'antecedente e il conseguente

In matematica il rapporto tra due grandezze, e quindi tra due numeri, non è altro che il quoziente di quei numeri.
Sappiamo che anche le frazioni rappresentano un quoziente. Quindi possiamo scrivere un rapporto sotto forma di divisione oppure anche sotto forma di frazione.

Esempio: hai chiamato £$5$£ invitati alla festa sui £$6$£ totali. Il rapporto è: £$5 : 6 =\frac{5}{6}$£

Il primo termine, in questo caso il £$5$£, è detto antecedente (coincide con il dividendo, oppure con il numeratore), mentre il secondo termine del rapporto, in questo caso il £$6$£, è il conseguente (coincide con il divisore, quindi con il denominatore).

E se scambiamo l’antecedente con il conseguente? Il rapporto diventa £$6 : 5 = \frac{6}{5}$£ che è il rapporto inverso o reciproco. È proprio come succedeva con le frazioni! Scambiando numeratore e denominatore si trovava la frazione reciproca!

Per i rapporti, poiché non sono altro che divisioni, vale la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo entrambi i termini del rapporto per uno stesso numero, il valore del rapporto non cambia.
Nella prima giornata di campionato hai fatto £$12$£ goal sui £$18$£ totali, quindi ne hai fatto £$12:18=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$£. Alla seconda giornata i goal totali raddoppiano, ed anche quelli fatti da te. Quindi hai fatto £$24$£ su £$36$£, che sono £$24:36=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$£. Hai fatto sempre i £$\frac{2}{3}$£ dei goal!

#BuoniPropositi2021 - Tutti i contenuti Redooc dalla Primaria all'Università per 6 mesi a 50,00€
#BuoniPropositi2021 - Tutti i contenuti Redooc dalla Primaria all'Università per 6 mesi a 50,00€