La radice quadrata: come si calcola e la scomposizione in fattori
La radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Gli elementi principali sono il radicando, il radicale e l’indice di radice. Per calcolare le radici perfette basta pensare alle potenze, altrimenti possiamo consultare le tavole numeriche oppure sfruttare la scomposizione in fattori primi.
La radice è un’operazione che appare in diverse occasioni mentre studi matematica. Hai mai letto il teorema di Pitagora? Ti hanno mai parlato della diagonale del quadrato di lato unitario? Cosa sono i numeri irrazionali? In tutte queste occasioni apparirà la radice. Ti serve per calcolare il valore dell’ipotenusa conosciuti i cateti nel teorema di Pitagora. La diagonale del quadrato di lato uguale a £$1$£ è pari a £$\sqrt{2}$£. I numeri irrazionali sono numeri che possiamo scrivere sotto forma di radici. La radice, detta anche estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza!
La radice ti permette di trovare la base di una potenza di cui conosci l’esponente e il risultato. Per esempio usi l’estrazione di radice quando conosci l’area di un quadrato e devi trovare la misura del lato. L’area del quadrato è £$A=l^2$£, la formula inversa per trovare il lato è £$l=\sqrt{A}$£.
Anche se ad un primo sguardo possono sembrare estremamente complesse, in realtà bisogna soltanto entrare nella loro ottica per capirle meglio: continua a leggere il nostro articolo e non avrai più dubbi!
- Dal quadrato alla radice quadrata
- La radice quadrata è l'operazione inversa della potenza
- Come calcolare la radice quadrata di quadrati non perfetti
- Come calcolare le radici con la scomposizione in fattori primi
- Esercizi di radici semplici
Dal quadrato alla radice quadrata
Dall’area di un quadrato al suo lato: la radice quadrata. La formula per calcolare l’area di un quadrato di lato £$l$£ è £$A=l^2$£.
Come trovare il lato di un quadrato conoscendo la sua area? Dobbiamo cercare quel numero che, elevato al quadrato, dà proprio l’area. Quindi dobbiamo trovare la base della potenza £$l^2$£ conoscendo il risultato, cioè l’area! Stiamo cercando quale è l’operazione da fare per trovare la formula inversa!
Se l’area di un quadrato misura £$4 \text{ cm}^2$£, allora trovare la misura del lato è facile: il lato del quadrato misura £$2 \text{ cm}$£ perché £$2 \cdot 2 = 2^2 = 4$£. Il numero che elevato al quadrato, cioè moltiplicato per se stesso, dà come risultato £$4$£ è £$2$£.
L’operazione che hai fatto è l’operazione inversa alla potenza e si chiama estrazione di radice. Nello specifico hai fatto una radice quadrata
La radice quadrata di £$4$£ è £$2$£, scriviamo £$\sqrt{4}=2$£.
Vale lo stesso discorso per le radici cubiche! Dato il volume di un cubo, per trovare il lato bisogna fare l’operazione inversa dell’elevamento al cubo: la radice cubica.
Hai un cubo di volume £$V=l^3=27 \text{ cm}^3$£, il lato sarà £$l=\sqrt[3]{27 \text{ cm}^3}=3 \text{ cm}$£
Come si chiamano gli elementi delle radici? Prendiamo un esempio: £$\sqrt[3]{125}=5$£. Il numero £$3$£ è l’indice della radice: si scrive sopra il simbolo di radice ed è uguale a £$2$£ quando non c’è. Il radicando è il numero che sta dentro il simbolo, quindi è £$ 125 $£. Il numero £$ \sqrt[3]{125} $£ si chiama radicale. Il risultato, cioè £$5$£ è la radice!
Per calcolare una radice ci sono diversi modi. Le radici più facili da calcolare sono quelle perfette, cioè quelle in cui è immediato risalire alla potenza! Sono radici perfette £$\sqrt{4}=2$£, £$\sqrt[3]{27}=3$£,£$\sqrt[4]{16}=2$£ perché è facile vedere £$4=2^2$£, £$27=3^3$£ e £$16=2^4$£. Non sono radici perfette £$\sqrt{54}$£ oppure £$\sqrt[3]{75}$£.
Quando devi calcolare la radice quadrata o cubica di un numero qualsiasi che non sia un quadrato o un cubo perfetto, puoi usare le tavole numeriche. Altrimenti scomponi il numero in fattori primi e impara a portarli fuori dalla radice!
La radice quadrata è l’operazione inversa della potenza
La radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. La radice infatti ci permette di trovare la base che, elevata alla seconda, alla terza, alla quarta, ecc. dà un certo risultato.
Come si chiamano gli elementi della radice?
Se scriviamo, per esempio, £$\sqrt[3]{8}=2$£ diciamo che: £$8$£ è il radicando, £$3$£ è l’indice di radice, £$2$£ è la radice e £$\sqrt[3]{8}$£ è il radicale. Quando l’indice di radice non è scritto, vuol dire che hai una radice quadrata, quindi l’indice è uguale a £$2$£.
I quadrati perfetti (o i cubi perfetti) sono quei numeri di cui è facile trovare la radice quadrata (o la radice cubica). In generale si può parlare sempre di radici perfette.
Per esempio £$\sqrt{9}=3$£, £$\sqrt[3]{125}=5$£, £$\sqrt[5]{32}=2$£ sono tutte radici perfette perché il risultato è un numero intero! Riusciamo a calcolarle più facilmente.
Lo 0 e l’1 sono quadrati, cubi e in generale radici perfette! Infatti:
- £$\sqrt{1}= \sqrt[3]{1}=1$£ perché £$1^2 = 1^3 = 1$£
- £$\sqrt{0}=\sqrt[3]{0}=0$£ perché £$0^2 = 0^3 = 0$£.
Come calcolare la radice quadrata di quadrati non perfetti
Come usare le tavole numeriche
Le tavole numeriche da 1 a 200
Abbiamo visto che è facile trovare la radice quadrata o cubica quando ci sono quadrati o cubi perfetti. I numeri che terminano per £$ 2 $£, £$ 3 $£, £$ 7 $£, £$ 8 $£ o un numero dispari di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/], sicuramente non sono quadrati perfetti.
Come calcolare la radice quadrata di un numero che non sia un quadrato perfetto? E per le radici cubiche? Per trovare la radice quadrata o la radice cubica di quadrati e cubi non perfetti possiamo usare le tavole numeriche.
Le tavole numeriche sono delle tabelle in cui possiamo leggere il quadrato, il cubo, la radice quadrata e la radice cubica dei numeri da £$1$£ a £$1000$£.
Guarda il video per imparare ad usare le tavole numeriche!
Nella tabella delle radici quadrate, troviamo le radici approssimate alla quarta cifra dopo la virgola. Se i numeri non sono quadrati perfetti, dovremo approssimare per difetto o per eccesso alla cifra che ci interessa mantenere. Se la cifra subito dopo quella che ci interessa è minore di £$5$£, approssimiamo per difetto; se invece la cifra che ci interessa è compresa tra £$5$£ e £$9$£ (£$5 \le x \le 9$£), approssimiamo per eccesso.
Esempio:
- £$ \sqrt{5}=2,236067…$£ arrotondato al decimo è £$2,2$£. La seconda cifra dopo la virgola, cioè i centesimi, è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]3
- £$\sqrt{5}=2,236067…$£ arrotondato al centesimo è £$2,24$£ La cifra dopo quella che ci interessa è £$6 > 5$£, quindi approssimiamo per eccesso, cioè aumentiamo di £$1$£ l’ultima cifra: £$\sqrt{5}=2,24$£.
Come calcolare le radici con la scomposizione in fattori primi
Calcolo della radice quadrata di un numero
Calcolo della radice cubica di un numero
Abbiamo visto che la radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Abbiamo anche visto che è facile calcolare le radici perfette. Se non abbiamo una radice perfetta, ma dobbiamo calcolare la radice quadrata o cubica possiamo usare le tavole numeriche. In tutti gli altri casi?
In mancanza delle tavole numeriche o della calcolatrice, possiamo calcolare la radice di un numero utilizzando la scomposizione in fattori primi.
Partiamo dalla radice quadrata! Un numero è un quadrato perfetto se gli esponenti di tutti i fattori primi che troviamo dalla scomposizione sono pari. Possiamo “portare fuori” dalla radice tutti questi numeri dividendo l’esponente del radicando per l’indice di radice, cioè £$ 2 $£. Fuori dalla radice rimarrà lo stesso numero con esponente il quoziente tra radicando e indice di radice. Dentro la radice rimane £$1$£, e visto che £$ \sqrt1 = 1 $£, possiamo anche non scriverla!
Esempio: £$\sqrt{900}=\sqrt{9 \cdot 100}=\sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^2}=3 \cdot 2 \cdot 5=30$£
Se sotto radice non abbiamo un quadrato perfetto, una parte resterà sotto alla radice. In questo caso scomponi ulteriormente le potenze della fattorizzazione in un prodotto di potenze raggruppando le potenze con esponente pari e quelle con esponente dispari. Puoi portare fuori dalla radice quelle con esponente pari, e quindi divisibile per £$2$£, mentre le altre rimangono sotto la radice.
Esempio: £$ \sqrt{8}=\sqrt{2^3}= \sqrt{2^2 \cdot 2}=2\sqrt{2} $£ (due volte il radicale radice di £$2$£)
Questo procedimento ti permette di risolvere o semplificare ogni radice, basta scomporre il radicando come prodotto di numeri con esponente divisibile per l’indice della radice!
Esempio:
- £$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{2 \cdot 3^3}=3\cdot \sqrt[3]{2}$£
- £$\sqrt[5]{2^6 \cdot 3^2 \cdot 4^{11}}=\sqrt[5]{2^5 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4^{10} \cdot 4} $£ £$ =2 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 4} $£
Esercizi di radici semplici
Preparati al compito in classe ripassando le radici! Ricordati che l’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Ripassa l’estrazione di radici e vedrai che sarai il numero uno!
Ecco gli esercizi sulle radici per prepararti alla verifica. Ripassa come si calcolano le radici e risolvi tutti gli esercizi. Poi controlla il risultato, mi raccomando non sbirciare!
Scarica qui il pdf degli esercizi: