Come rappresentare una funzione

Esistono diversi modi per rappresentare una funzione. È una particolare relazione tra insiemi: possiamo utilizzare la rappresentazione insiemistica, oppure disegnare il grafico sul piano cartesiano. Impara a trovare il valore della funzione in ciascun punto! Fai attenzione! Non tutte le relazioni sono funzioni!

Abbiamo capito che una funzione è scritta sottoforma di equazione. Si tratta di una relazione tra due insiemi, quindi scritta come equazione in due variabili. Ma come possiamo rappresentarla?

Esistono due modi per rappresentare una funzione:

  • la rappresentazione insiemistica: disegniamo i due insiemi che sono in relazione, rappresentiamo la funzione con le frecce;
  • grafico sul piano cartesiano: troviamo i valori corrispondenti per ciascuna variabile e li rappresentiamo come punti sul piano cartesiano.

Non tutte le relazioni sono funzioni. Impara come riconoscerle! Basta ricordare la definizione: non possono esistere due elementi in output funzione dello stesso elemento in input.

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per imparare come rappresentare una funzione

I prerequisiti per imparare come rappresentare una funzione sono:

Come scrivere una funzione

Abbiamo dato la definizione matematica di funzione, ma quali sono le funzioni che possiamo trovarci davanti?

Qualche esempio lo abbiamo già visto. Che cosa sono le equazioni del tipo £$ y = f(x) $£?

Le funzioni sono espresse da una formula che contiene le due variabili £$ x $£ e £$ y $£, una legge matematica che lega queste due variabili.

Esempio: £$ y = x + 1 $£ è una funzione che associa ad un numero £$ x $£ il suo successivo £$ x + 1 $£. Consideriamo come insieme di partenza £$ X $£ l’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N} $£. Ovviamente l’insieme di arrivo £$ Y $£ è ancora uguale all’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N} $£. Costruiamo la tabella in cui visualizzare i valori che la funzione mette in relazione:

£$\ x \ $££$ \ y \ $£
12
23
34
45

 

Esempio: Possiamo rappresentare così la funzione che associa alla misura del lato di un quadrato la sua area: £$ y = x^2 $£. Rappresentiamo i valori che assume la funzione con una tabella:

£$\ x \ $££$\ y \ $£
11
24
39
416

 

In verità abbiamo già visto delle funzioni. Ti ricordi le grandezze direttamente e inversamente proporzionali? Le abbiamo rappresentate attraverso delle funzioni (retta e iperbole), con variabile dipendente e variabile indipendente e disegnando il grafico sul piano cartesiano.

Diversi modi per rappresentare una funzione

Rappresentazione insiemistica

transparent placeholder

Grafico della funzione

transparent placeholder

Abbiamo detto che una funzione è una particolare relazione tra due insiemi. Il primo modo per rappresentarla è proprio quello insiemistico.

Una funzione tra due insiemi può essere rappresentata con delle frecce che collegano ciascun elemento dell’insieme di partenza con un unico elemento dell’insieme di arrivo.

Un altro modo per rappresentare una funzione è disegnango il suo grafico sul piano cartesiano. La funzione mette in relazione un elemento £$ x \in X $£ con un elemento £$ y \in Y $£. Gli elementi messi così in relazione formano delle coppie £$ (x;y) $£. Ciascuna di queste coppie indica le coordinate di un punto sul piano cartesiano. Quindi possiamo rappresentare il grafico di una funzione unendo tutti i punti sul piano cartesiano: a partire dalla legge matematica che definisce la funzione, riusciamo a ricavare tutte le coordinate. Stabiliamo una £$ x $£ e troviamo il valore della variabile dipendente £$ y $£. Individuati tutti i punti, ecco il grafico della funzione!

Esempio: nelle due immagini abbiamo rappresentato nei due modi diversi la stessa funzione, definita da £$ \mathbb{N} $£ in £$ \mathbb{N} $£:

£$ f(x) = 4x + 3 $£

Come riconoscere una funzione

Funzioni

transparent placeholder

Relazioni che non sono funzioni

transparent placeholder

Non tutte le relazioni tra due insiemi sono delle funzioni. Bisogna imparare a riconoscerle! Il passaggio più importante per riconoscere una funzione è controllare che tutti gli elementi nell’insieme di partenza abbiano un unico corrispondente nell’insieme di arrivo. Quindi fai attenzione che non ci sia un elemento £$ x \in X $£ tale che £$ f(x) = y_1 $£ e £$ f(x) = y_2 $£ con £$ y_1 \ne y_2 $£.

Nella rappresentazione insiemistica riconosciamo che la relazione rappresentata è una funzione se da ciascun elemento dell’insieme di partenza £$ X $£ “esce un’unica freccia” che lo collega ad un unico elemento dell’insieme £$ Y $£.

Nella rappresentazione sul piano cartesiano, invece, possiamo utilizzare il metodo delle linee verticali: immaginiamo di tracciare delle linee verticali (cioè parallele all’asse £$ y $£) sul piano cartesiano. Se anche solo una di queste linee interseca il grafico in due punti, allora quello che abbiamo davanti non è il grafico di una funzione.

Esercizi svolti Come rappresentare una funzione

Ecco gli esercizi su Come rappresentare una funzione in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Derivate. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni!

Esercizi Come rappresentare una funzione - 1

Riconosci le funzioni e come si rappresentano. Impara a scrivere la funzione a partire dalla definizione e valutare le funzioni in punti determinati.

Esercizi Come rappresentare una funzione - 2

Riconosci le funzioni vedendo la loro rappresentazione. Insiemi e grafici sul piano cartesiano: qual è il segreto per individuare tutte le funzioni?

Esercizi Come rappresentare una funzione - 3

Utilizza i trucchi che hai imparato per riconoscere quali grafici rappresentano una funzione. Completa il terzo livello di esercizi sulle funzioni!

Saldi con Carta del docente e 18App
Saldi con Carta del docente e 18App