Proposizioni composte e connettivi logici

Cosa sono i connettivi logici in matematica? E che cos'è una proposizione composta? Puoi ottenerla a partire da due proposizioni semplici usando congiunzione, disgiunzione e implicazione. Qual è il valore di verità delle proposizioni composte così ottenute? Scoprilo con le tavole di verità e risolvi gli esercizi per imparare a usare correttamente i connettivi logici!

Stai studiando i connettivi logici e le proposizioni composte in matematica? Trovi qui tutti i chiarimenti di cui hai bisogno!

La proposizione logica composta è una frase formata da più proposizioni semplici legate tra loro da connettivi logici e può essere vera o falsa.

I connettivi logici che imparerai a usare in questa lezione sono:

  • la congiunzione "e"
  • la disgiunzione "o"
  • l'implicazione logica "se... allora"

Impara a usare i connettivi logici per costruire delle proposizioni più complesse e articolate, simili alle frasi che pronunci tutti i giorni!

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Prerequisiti per imparare le proposizioni logiche e i connettivi logici

I prerequisiti per imparare le proposizioni logiche e i connettivi logici sono:

Le proposizioni composte

Per esprimere pensieri più elaborati, possiamo comporre delle proposizioni semplici per formare proposizioni composte.

Le proposizioni composte sono formate da più predicati.

Ad esempio, prendiamo due proposizioni semplici:

£$p$£: “I gatti bianchi portano la corona”

£$q$£: “I gatti bianchi hanno macchie rosa”

Possiamo legarle tra loro in diversi modi per ottenere delle proposizioni composte:

£$r$£: “I gatti bianchi portano la corona e hanno macchie rosa” dove abbiamo usato la parola “e”.

£$s$£: “I gatti bianchi portano la corona oppure hanno macchie rosa” dove abbiamo usato la parola “oppure”.

Anche le proposizioni logiche composte sono vere o false. Il loro valore di verità dipende da quello delle proposizioni semplici che le compongono.

Come creare proposizioni composte

Come comporre due proposizioni semplici? Ci sono diversi modi, vediamone alcuni.

Consideriamo due proposizioni semplici:

£$p$£: “£$5$£ è multiplo di £$3$£”

£$q$£: “Le diagonali del rombo sono perpendicolari”

Possiamo scrivere tutte queste proposizioni logiche composte:

“£$5$£ è multiplo di £$3$£ e le diagonali del rombo sono perpendicolari”

“£$5$£ è multiplo di £$3$£ o le diagonali del rombo sono perpendicolari”

“Se £$5$£ è multiplo di £$3$£ allora le diagonali del rombo sono perpendicolari”

Tutte e tre sono proposizioni logiche composte anche se… può sembrare che “non abbiano senso”. Le particelle “e”, “o” (connettivi logici) e “se…allora” servono per formare proposizioni composte.

La congiunzione

Formiamo una proposizione composta a partire da queste due proposizioni semplici usando il connettivo “e”.

£$p$£: “Un quadrato è un rettangolo” (VERA)

£$q$£: “Un quadrato è un rombo’’ (VERA)

La proposizione composta “Un quadrato è un rettangolo ed è un rombo’’ è VERA. Il connettivo “e” si chiama congiunzione e la proposizione così composta si rappresenta con il simbolo £$p\wedge q$£.

Cosa succede quando le proposizioni sono false? Rappresentiamo la congiunzione con la sua tavola di verità.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p\wedge q\\\hline V&V&V\\\hline V&F&F\\\hline F&V&F\\\hline F&F&F\\\hline \end{array}$$

La congiunzione è vera soltanto quando le proposizioni che la compongono sono entrambe vere. In tutti gli altri casi è falsa!

Per esempio:

£$p$£: “£$8$£ è un multiplo di £$2$£” (VERA)

£$q$£: “£$8$£ è un multiplo di £$3$£’’ (FALSA)

La proposizione composta “£$8$£ è un multiplo di £$2$£ ed è un multiplo di £$3$£’’ è FALSA.

La disgiunzione

Un altro connettivo logico è “o” che si chiama disgiunzione.

Consideriamo le due proposizioni:

£$p$£: "£$9$£ è dispari" (VERA)

£$q$£: "£$9$£ è primo" (FALSA)

La proposizione composta con la disgiunzione “o” è “£$9$£ è dispari o £$9$£ è primo’’ e si indica con il simbolo £$p \vee q$£. Questa proposizione è VERA! Infatti una proposizione composta con la disgiunzione è vera se almeno una delle due proposizioni semplici lo è.

Rappresentiamo la disgiunzione con la sua tavola di verità.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p\vee q\\\hline V&V&V\\\hline V&F&V\\\hline F&V&V\\\hline F&F&F\\\hline \end{array}$$

La disgiunzione è falsa soltanto quando le proposizioni che la compongono sono entrambe false. In tutti gli altri casi è vera!

Per esempio:

£$p$£: “Un triangolo equilatero ha un angolo retto” (FALSA)

£$q$£: “Un quadrato ha un angolo acuto ’’ (FALSA)

La proposizione composta “Un triangolo equilatero ha un angolo retto o un quadrato ha una angolo acuto’’ è FALSA.

Fai attenzione! Nel linguaggio di tutti i giorni utilizziamo la disgiunzione "o" in due modi diversi:

"Prima di andare a dormire bevo una camomilla o guardo la televisione". Questa frase è vera anche se bevo la camomilla guardando la televisione. Questa è la disgiunzione che abbiamo già visto! Si chiama anche disgiunzione inclusiva.

"Stamattina metto una maglia blu o una maglia rossa". In questo caso non può accadere contemporaneamente di indossare una maglia blu e una maglia rossa. Questa disgiunzione si chiama esclusiva.

Connettivi e operazioni tra gli insiemi: cos'hanno in comune?

Congiunzione e intersezione

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Disgiunzione e unione

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I connettivi logici di congiunzione e disgiunzione funzionano un po' come le operazioni tra gli insiemi.

La congiunzione corrisponde all'intersezione. Infatti una congiunzione è vera solo se le due proposizioni che la compongono sono entrambe vere. Nello stesso modo, diciamo che degli elementi appartengono all'intersezione di due insiemi solo se appartengono sia al primo che al secondo insieme.

Esempio: £$ P \cap Q = \{6, 12 \} $£ perché £$ 6, 12 \in P \wedge 6, 12 \in Q $£.

La disgiunzione funziona come l'unione. Infatti perché una disgiunzione sia vera è sufficiente che almeno una delle proposizioni che la compongono sia vera. Nello stesso modo, diciamo che degli elementi appartengono all'unione di due insiemi se appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

Esempio: £$ P \cup Q = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 \} $£ perché sono tutti gli elementi che appartengono all'insieme £$ P $£ o all'insieme £$ Q $£.

L'implicazione

Un altro modo per collegare due proposizioni semplici è l’implicazione. È una proposizione composta che collega due proposizioni semplici attraverso l'espressione “se… allora”.

Possiamo indicare questa proposizione utilizzando il simbolo £$ \rightarrow $£ oppure anche il simbolo £$ \Rightarrow $£.

Consideriamo due proposizioni semplici £$ p $£ e £$ q $£. Possiamo leggere l'espressione £$ p \rightarrow q $£ come "£$p$£ implica £$q$£" oppure come "se £$p$£ allora £$q$£". La prima proposizione, £$ p $£, è la premessa, la seconda proposizione, £$ q $£, è la conclusione.

Come facciamo a capire se una implicazione è vera o è falsa? Se la conclusione è vera tutte le volte che è vera la premessa, anche l'implicazione è vera.

Per esempio:

  • l'implicazione £$ p \rightarrow q $£: "Se £$ n $£ è un numero primo allora è divisibile per 2" è FALSA. Infatti la conclusione £$ q $£: "£$ n $£ è divisibile per 2" è FALSA, se assumiamo che la premessa £$ p $£: "£$ n $£ è un numero primo" è VERA;
  • l’implicazione £$ p \rightarrow q $£: “Se £$ n $£ è un numero primo allora è divisibile per 1 e per se stesso" è VERA. Infatti la conclusione £$ q $£: "£$ n $£ è divisibile per 1 e per se stesso" è VERA e anche la premessa £$ p $£: "£$ n $£ è un numero primo" è VERA.

Proviamo a capirlo meglio con la tavola di verità dell'implicazione:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p&q&p\rightarrow q\\\hline V&V&V\\\hline V&F&F\\\hline \end{array}$$

Esercizi svolti su Proposizioni composte ed operatori logici

Esercizi di Proposizioni composte e connettivi logici - 1

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Esercizi di Proposizioni composte e connettivi logici - 2

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Esercizi di Proposizioni composte e operatori logici - 3

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