Le proposizioni logiche e valori di verità

Una proposizione logica è una frase che può essere vera o falsa.

Esempio: “Il mio gatto è bianco” è una proposizione logica perché basta guardare il gatto per dire se è questa frase è vera oppure no. “Tutti i gatti sono neri” è una proposizione logica perché possiamo dire che è falsa (ci sono anche gatti che non sono neri).

Una frase NON è una proposizione logica se NON possiamo stabilire se è vera o falsa.

In generale le domande e le esclamazioni, non sono proposizioni logiche perché non possiamo dire se sono vere o se sono false.
“Forse tu hai un asso”: il “forse” rappresenta un’indecisione e non possiamo dire se la frase è vera o è falsa.
“Lisbona è una bella città’” non è una proposizione logica perché la bellezza è una qualità soggettiva, quindi non possiamo dire se la frase è vera o falsa.

Una proposizione logica è una proposizione semplice se è costituita da un solo predicato, cioè da un solo verbo. “Tutti i gatti sono neri”, “Oggi c’è il sole”, “La lampadina è accesa” sono tutte proposizioni logiche semplici perché costituite tutte da un solo predicato.

“I violini hanno quattro corde”. “I violini non hanno quattro corde”.

Le due frasi sono molto simili ma hanno un significato opposto! La differenza tra le due frasi sta solo in una parola: “non”, una negazione.
La prima frase è vera, i violini hanno davvero quattro corde. La seconda è falsa.

“I gatti sono bipedi”. “I gatti non sono bipedi”.

Anche in questo caso le due frasi si distinguono solo per la parola “non”, che ne cambia completamente il significato.
La prima frase è falsa, i gatti non sono bipedi, sono quadrupedi! Ma la seconda è vera.

La negazione trasforma una frase vera in una frase falsa e, viceversa, una frase falsa in una frase vera.

Data la proposizione £$p$£, la sua negazione si indica in questo modo £$\overline{p}$£ (si legge "non £$p$£") oppure con il simbolo £$¬p$£.

Il valore di verità di £$¬p$£ dipende dal valore di verità di £$p$£, ed è il suo opposto.

Rappresentiamo la negazione con la sua tabella di verità.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline p&¬p\\\hline V&F\\\hline F&V\\\hline \end{array}$$

Esiste un modo molto semplice per negare una frase qualsiasi: basta iniziare la fase con “Non è vero che...”.

£$p$£: “Ogni quadrato ha £$3$£ lati”.
£$¬p$£: “Non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati”.

Posso applicare la negazione tutte le volte che voglio.

Ad esempio:

£$p$£: "Ogni quadrato ha £$3$£ lati”, è falsa.
£$¬p$£: “Non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati”, è vera.
£$¬¬p$£: “Non è vero che non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati”, è falsa.

Attenzione: la doppia negazione è una affermazione; due negazioni si annullano!