Le proposizioni logiche

Scopri cosa sono le proposizioni logiche semplici e impara a riconoscerle. Scopri quali sono i valori di verità di una proposizione logica: vera o falsa? Impara ad usare la negazione logica che ti permette di negare una proposizione e cambiare il suo valore di verità. Scopri i quantificatori e impara come fare la loro negazione.

Quante volte ti sei sentito dire “è logico!!!". Ma cos'è la logica? Cosa sono le proposizioni logiche? Impariamo ora una matematica che ti sembrerà strana, dove le frasi che apparentemente possono non aver senso sono matematicamente vere!

In questa lezione imparerai:

  • cos'è una proposizione logica semplice: è una frase che può essere vera o falsa;
  • cos'è il valore di verità: quando diciamo che una proposizione logica è vera (V) oppure è falsa (F) stiamo dando a quella frase un valore di verità;
  • come usare la negazione logica;
  • quali sono i quantificatori e come troviamo la loro negazione.

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Proposizione logica

Una proposizione logica è una frase che può essere vera o falsa.

Esempio: “Il mio gatto è bianco” è una proposizione logica perché basta guardare il gatto per dire se è questa frase è vera oppure no. “Tutti i gatti sono neri” è una proposizione logica perché possiamo dire che è falsa (ci sono anche gatti che non sono neri).

Una frase NON è una proposizione logica se NON possiamo stabilire se è vera o falsa.

In generale le domande e le esclamazioni, non sono proposizioni logiche perché non possiamo dire se sono vere o se sono false.
“Forse tu hai un asso”: il “forse” rappresenta un’indecisione e non possiamo dire se la frase è vera o è falsa.
“Lisbona è una bella città’” non è una proposizione logica perché la bellezza è una qualità soggettiva, quindi non possiamo dire se la frase è vera o falsa.

Una proposizione logica è una proposizione semplice se è costituita da un solo predicato, cioè da un solo verbo. “Tutti i gatti sono neri”, “Oggi c’è il sole”, “La lampadina è accesa” sono tutte proposizioni logiche semplici perché costituite tutte da un solo predicato.

Il valore di verità di una proposizione logica

A una proposizione logica assegniamo un valore di verità: VERO (V) o FALSO (F).

Ogni proposizione logica deve avere un valore di verità vero oppure falso: non ci sono altre possibilità!

“2 è pari” è una proposizione logica e ha valore di verità VERO.

“Firenze è la capitale dell’Italia” è una proposizione logica e ha un valore di verità FALSO.

“Paolo è un cantante abbastanza bravo” non è una proposizione logica!

La negazione

“I violini hanno quattro corde”. “I violini non hanno quattro corde”.

Le due frasi sono molto simili ma hanno un significato opposto! La differenza tra le due frasi sta solo in una parola: “non”, una negazione.
La prima frase è vera, i violini hanno davvero quattro corde. La seconda è falsa.

“I gatti sono bipedi”. “I gatti non sono bipedi”.

Anche in questo caso le due frasi si distinguono solo per la parola “non”, che ne cambia completamente il significato.
La prima frase è falsa, i gatti non sono bipedi, sono quadrupedi! Ma la seconda è vera.

La negazione trasforma una frase vera in una frase falsa e, viceversa, una frase falsa in una frase vera.

Data la proposizione £$p$£, la sua negazione si indica in questo modo £$\overline{p}$£ (si legge "non £$p$£") oppure con il simbolo £$¬p$£.

Il valore di verità di £$¬p$£ dipende dal valore di verità di £$p$£, ed è il suo opposto.

Rappresentiamo la negazione con la sua tabella di verità.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline p&¬p\\\hline V&F\\\hline F&V\\\hline \end{array}$$

Esiste un modo molto semplice per negare una frase qualsiasi: basta iniziare la fase con “Non è vero che...”.

£$p$£: “Ogni quadrato ha £$3$£ lati”.
£$¬p$£: “Non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati”.

Posso applicare la negazione tutte le volte che voglio.

Ad esempio:

£$p$£: "Ogni quadrato ha £$3$£ lati”, è falsa.
£$¬p$£: “Non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati”, è vera.
£$¬¬p$£: “Non è vero che non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati”, è falsa.

Attenzione: la doppia negazione è una affermazione; due negazioni si annullano!

Quantificatori

In una proposizione semplice troviamo degli elementi particolari che indicano quanti soggetti sono interessati da ciò che è descritto nella proposizione. Questi oggetti sono i quantificatori. Infatti il termine quantificatore deriva dal verbo quantificare che a sua volta deriva dal latino quantus, che significa proprio quanto.

Esempi:

  • "Tutti i trapezi sono parallelogrammi" contiene il quantificatore tutti ed è FALSA.
  • "Alcuni trapezi sono parallelogrammi" contiene il quantificatore alcuni ed è FALSA.
  • "Nessun trapezio è un parallelogramma" contiene il quantificatore nessun ed è VERA.

Come facciamo a negare questo tipo di frasi? Possiamo procedere sempre nello stesso modo, aggiungendo "non è vero che" all'inizio della frase, oppure procedere in questo modo: la negazione dei quantificatori "tutti" e "nessuno" è "esiste almeno".

Esempi:

  • possiamo esprimere la negazione della frase "Tutti i trapezi sono parallelogrammi" in questi modi:
    • "Non è vero che tutti i trapezi sono parallelogrammi" è VERA
    • "Esiste almeno un trapezio che non è un parallelogramma" è VERA
  • possiamo esprimere la negazione della frase "Alcuni trapezi sono parallelogrammi" in questi modi:
    • "Non è vero che alcuni trapezi sono parallelogrammi" è VERA
    • "Non esiste un trapezio che è un parallelogramma" è VERA
  • possiamo esprimere la negazione della frase "Nessun trapezio è un parallelogramma" in questi modi:
    • "Non è vero che nessun trapezio è un parallelogramma" è FALSA
    • "Esiste almeno un trapezio che è un parallelogramma" è FALSA

Esercizi svolti Proposizioni logiche

Esercizi di proposizioni logiche - 1

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Esercizi di proposizioni logiche - 3

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